- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •Тема 5. Функции одной переменной. Непрерывность
- •Тема 6. Дифференцирование функции одной переменной
- •Тема 7. Функции нескольких переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных
- •Тема 8. Неопределенный интеграл
- •Тема 9. Определенный интеграл и его применение
- •Тема 10. Дифференциальные уравнения
- •Тема 11. Ряды
- •Методические указания по выполнению заданий контрольной работы № 1
- •1. Задания 1 и 2 по теме «Элементы аналитической геометрии на плоскости» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Задания 3 и 4 по теме «Элементы линейной алгебры и теории n-мерных векторных пространств» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Задание 5 по теме «Теория пределов» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Задания 6 и 7 по теме «Производная и ее применение для исследования функций» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Методические указания по выполнению заданий контрольной работы № 2
- •1. Задание 1 по теме «Частные производные функции нескольких переменных» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Задания 2 и 3 по теме «Неопределенный интеграл, определенный интеграл и его применение для вычисления площади фигуры» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •3. Задания 4 и 5 по теме «Ряды и их применение к приближенным вычислениям определенных интегралов» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •4. Задания 6 и 7 по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Краткие теоретические сведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Требования к оформлению контрольных работ
- •Варианты контрольной работы № 1
- •Варианты контрольной работы № 2
- •Задания контрольной работы № 1
- •Задания контрольной работы № 2
- •Задачи 31–40
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •2 46029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
Вопросы для самопроверки
Дайте определение производной. Каков ее геометрический смысл?
Какие вы знаете экономические интерпретации производной функции? Приведите примеры.
Пусть функция y = f(x) является в некоторой точке дифференцируемой. Следует ли отсюда, что она является непрерывной в этой точке?
Сформулируйте общие правила дифференцирования функций и формулы нахождения производных основных элементарных функций.
Что называется дифференциалом функции? По какой формуле он вычисляется?
Для раскрытия каких неопределенностей может быть использовано правило Лопиталя? Приведите примеры.
Как определяются асимптоты кривой? Каким образом они находятся?
Какие вы знаете признаки возрастания и убывания функции? Покажите, что функция у = ln x возрастает, а функция у = cos x – 2x убывает при всех .
Что называется экстремумом функции? Сформулируйте достаточное условие его существования.
Дайте определение выпуклости, вогнутости графика функции на интервале. Сформулируйте достаточные условия существования этих свойств у графика.
Какая точка называется точкой перегиба графика функции? Какое вы знаете достаточное условие существования перегиба в точке?
Какова схема исследования функции и построения ее графика?
Типовая задача 6
Найти производные следующих функций:
у = (ln2 x + 5x)10;
у = (5cos3x + x) · tg3x;
.
Решение. Используя формулы и правила дифференцирования, находим производные данной функции следующим образом:
1) = ((ln2 x + 5x)10)' = 10 · (ln2 x + 5x)9 · (ln2 x + 5x)' = 10 · (ln2 x + + 5x)9 · = 10 · (ln2x + 5x)9 · .
2) =((5cos3x + x) · tg3x)' = (5cos3x + x)' · tg3x + (5cos3x + x) · (tg3x)' = = (5cos3x · ln5 · (cos3x)' + 1) · tg3x + (5cos3x + x) · · 3 = (–5cos3x · ln5 · · sin3x · 3 + 1) · tg3x + (5cos3x + x) · = (–3 · ln5 · 5cos3x · sin3x + + 1) · tg3x + .
3) = =
= =
= .
Ответ: 1) 10 · (ln2 x + 5x)9 · ;
2) (–3 · ln5 · 5cos3x · sin3x + 1) · tg3x + ;
3) .
Типовая задача 7
Исследовать функцию у = и построить ее график.
Решение. 1. Так как функция не определена при х + 1 0 (х –1), то D(y) = .
Функция является ни четной, ни нечетной, так как D(y) не является симметричной относительно начала координат.
Функция является непериодической.
Находим асимптоты.
х = –1 — точка разрыва. Если х будет стремиться к (–1) слева, оставаясь меньше (–1), то (х + 1)2 — положительная бесконечно малая функция, а — положительная бесконечно большая функция, т. е. если , то (х + 1)2 +0, а , или .
Аналогично показывается, что .
Делаем вывод, что прямая х = –1 — вертикальная асимптота графика.
Для нахождения наклонных асимптот у = k · x + b при находим пределы:
k = = = = = = = = 0,
b = = = = = = = 1.
Таким образом, у = 1 — горизонтальная асимптота графика.
Аналогичным образом показывается, что у = 1 — горизонтальная асимптота и при х .
5. = = = = = .
6. Находим критические точки. Решаем уравнение y' = 0:
= 0 x = 1.
Точка х = –1, в которой производная не существует, не принадлежит D(y). Точка х = 1 D(y). Поэтому х = 1 — единственная критическая точка.
7. Критическая точка х = 1 разбивает область определения на интервалы. Определим знак первой производной у' на каждом интервале (рис. 14).
Рис. 14
.
Составим следующую таблицу:
х |
(– ; –1) |
–1 |
(–1; 1) |
1 |
(1; ) |
y' |
+ |
Не существует |
– |
0 |
+ |
у |
Возрастает |
Не существует |
Убывает |
0 |
Возрастает |
|
|
Экстремума нет |
|
min |
|
8. = = = = = = = .
9. Решим уравнение : = 0.
Отсюда х = 2.
Точка х = –1, в которой вторая производная не существует, не принадлежит D(y). Точка х = 2 D(y). Определим знак второй производной на области определения (рис. 15).
Рис. 15
.
Составим следующую таблицу:
х |
(– ; –1) |
–1 |
(–1; 2) |
2 |
(2; ) |
y'' |
+ |
Не существует |
+ |
0 |
– |
у |
|
Не существует |
|
1/9 |
|
|
График вогнутый |
Перегиба нет |
График вогнутый |
Точка перегиба |
График выпуклый |
10. Находим точки пересечения графика с осями координат.
10.1. С осью Ох. Так как у = 0, то имеем
х = 1.
10.2. С осью Оу. Так как х = 0, то имеем у = .
Значит, (1,0), (0,1) — точки пересечения с осями координат.
Так как числитель и знаменатель дроби являются полными квадратами, то при всех х D(y).
11. По результатам исследования строим график функции (рис. 16).
|
|
Рис. 16 |