Задание 1. Выборочные характеристики.

Постановка задачи.

Вычислить основные статистические характеристики выборочных данных:

1. Среднее арифметическое.

2. Дисперсию.

3. Стандартное отклонение.

4. Коэффициент асимметрии.

5. Коэффициент эксцесса.

Вычисления.

В пакете Excel имеется возможность вычисления всех четырех выборочных моментов. Для этого можно использовать встроенные функции СРЗНАЧ, ДИСПР, СКОС и ЭКСЦЕСС, вызываемые либо посредством мастера функций (кнопка – категория «Статистические»), либо введенные непосредственно в ячейку листа Excel. Формат вызова всех функций одинаков:

=ФУНКЦИЯ(x1; x2 ;…) или =ФУНКЦИЯ(Массив данных).

Второй способ вызова, конечно, удобнее. Здесь Массив данных – это область листа Excel вида A1:B43, содержащая обрабатываемые данные.

Функция ДИСПР дает смещенную оценку дисперсии, для подсчета несмещенной оценки предназначена функция ДИСП. Стандартное отклонение вычисляется посредством функций СТАНДОТКЛОНП и СТАНДОТКЛОН, квадраты которых суть функции ДИСПР и ДИСП, соответственно.

Функции СКОС и ЭКСЦЕСС вычисляют почти несмещенные оценки соответствующих характеристик. Для наших целей эти функции не совсем подходят. Мы будем вычислять эти коэффициенты исходя из определений.

Пример.

Лист “Моменты” с выборочными характеристиками может выглядеть следующим образом.

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	Выборочные моменты						1,1950	0,2687
2
3	Объем выборки n	101					-4,9302	8,3911
4	Среднее	121,00					0,7242	0,6503
5	Дисперсия S 2	1,773					1,7195	2,0599
6	Ст.Отклонение S	1,33					0,1235	0,0615
7	Асимметрия g1	0,506	Значимо				6,8376	12,9778
8	Эксцесс g2	0,051	Не значимо				-1,7366	2,0873
9							…

Если выборочные данные хранятся на листе “Данные” в области “B3:B103”, то для заполнения листа можно использовать следующий

 Порядок вычислений.

1. В ячейке B3 найти количество данных

   • =СЧЁТ(Данные!B3:B103)

2. в ячейке B4 вычислить среднее арифметическое

   • =СРЗНАЧ(Данные!B3:B103)

3. в ячейке B5 вычислить дисперсию

   • =ДИСПР(Данные!B3:B103)

4. в ячейке B6 вычислить стандартное отклонение

   • =СТАНДОТКЛОНП(Данные!B3:B103)

Для отыскания асимметрии и эксцесса провести вспомогательные вычисления в столбцах G и H:

5. в ячейках G3 и H3 ввести формулы вычисления 3-ей ( ) и 4-ой ( ) степеней отклонения выборочных данных от среднего

   • =(Данные!B3-$B$3)^3

   • =(Данные!B3-$B$3)^4

(обратите внимание на знаки $);

6. скопировать ячейки G3 и H3 до 103-й строки (параллельно выборочным данным);

7. в ячейках G1 и H1 вычислить средние арифметические столбцов G и H

   • =СРЗНАЧ(G3:G104)

   • =СРЗНАЧ(H3:H104)

8. в ячейке B7 вычислить асимметрию

   • =G1/B6^3

9. в ячейке B8 вычислить эксцесс

   • =H1/B6^4-3

10. в ячейки C7 и C8 занести результаты сравнений асимметрии и эксцесса с критическими значениями (см. пособие [4], стр. 26). В нашем случае асимметрия не попадает (– значимо отличается от нуля), а эксцесс попадает в допустимый интервал (– не значимо отличается от нуля). Таким образом, имеются некоторые основания сомневаться в нормальности распределения данных.

Замечание. Вычисленные посредством функций СКОС и ЭКСЦЕСС, выборочные асимметрия и эксцесс равны 0,5147 и 0,0144.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте статистическую задачу.

2. Является ли выборочное среднее (дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент асимметрии, эксцесс) несмещенной оценкой?

   1. 11.

3. Является ли выборочное среднее (дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент асимметрии, эксцесс) состоятельной оценкой?

   1. 12.

4. Что такое состоятельность и несмещенность?

   1. 10, 12.

5. Как можно исправить смещение выборочной дисперсии? Будет ли после такого исправления несмещенным стандартное отклонение? Будет ли состоятельной несмещенная оценка дисперсии?

   1. 11.

6. Какую информацию несет коэффициент эксцесса (среднее значение, дисперсия, асимметрия, коэффициент корреляции)?

   1. 25-27.

7. По какой формуле вычисляется дисперсия (среднее, асимметрия, эксцесс)?

   1. 25-26.

8. Что означают слова “значимо” и “не значимо” в представленном отчете?

   1. 26-27.

9. На каком принципе основан выбор границ, по которым проверялась гипотеза нормальности?

   1. 27.