Задание №1

Из данной совокупности секвенций выбрать доказуемые, построить их доказательства, для недоказуемых показать их недоказуемость с помощью:

7. Алгоритма Квайна

8. Алгоритма редукции

9. Метода резолюций

Среди этих доказательств недоказуемости выбрать оптимальный в каждом конкретном случае.

9. Y(ZU)  (YZ)U

10.  YY

11. YXU , XYU , UX  UY

12. YZ  YZ

Решение:

1. Y(ZU)  (YZ)U

Данная секвенция недоказуема!

Метод Квайна: Y(ZU)  (YZ)U

Пусть Y=0 , тогда: Пусть Y=1 , тогда:

0(ZU)  (0Z)U 1(ZU)  (1Z)U

1  1U

Пусть U=0 , тогда: Пусть U=1 , тогда: Пусть Z=0 , тогда:

1  10 1  11 1(0U)  (10)U

1  0 1  1 1  0U

тождественно ложно. Пусть Z=1 , тогда:

1(1U)  (11)U

1(1U)  1U

Пусть U=0 , тогда: Пусть U=1 , тогда:

1(10)  10 1(11)  11

10  0 1  1

0  0

Метод редукции (оптимальный): Y(ZU)  (YZ)U

Докажем что при (YZ)U = 0, Y(ZU) =1

Чтобы выполнялось (YZ)U = 0 надо, чтобы выполнялось:

(YZ) = 1, U = 0

Чтобы выполнялось YZ = 1 достаточно Y = 0.

Тогда Y(ZU) =1 тождественно истинно.

Значит при Y = 0 и любых Z и U данная секвенция недоказуема!

Метод резолюций: Y(ZU)  (YZ)U

Приведем формулу (Y(ZU))  ((YZ)U) к КНФ.

(Y(ZU)),((YZ)U) = YZU,((YZ)U) =

= YZU,(YZ)U = YZU,YZ,U

 YZU

(2) YZ

(3) U

(4) res_Z(1,2) = YU

(5) res_U(3,4) = Y

Следовательно данная секвенция недоказуема.

2.  YY Данная секвенция доказуема!

Y  Y

₈ Y  Y

 YY

3. YXU , XYU , UX  UY

Данная секвенция недоказуема!

Метод Квайна: YXU , XYU , UX  UY

(YXU)(XYU)(UX)  UY

Пусть X = 0, тогда:

(Y0U)(0YU)(U0)  UY

(YU)1(U)  UY

Пусть Y = 0, тогда: Пусть Y = 1, тогда:

(0U)1(U)  U0 (1U)1(U)  U1

U1(U)  U 1(U)  1

Пусть U = 0, тогда: Пусть U = 1, тогда: Пусть U = 0, тогда: Пусть U = 1, тогда:

01(0)  0 11(1)  1 1(0)  1 1(1)  1

0  0 0  1 1  1 0  1

Пусть X = 1, тогда:

(Y1U)(1YU)(U1)  UY

1(YU)1  UY

Пусть Y = 0, тогда: Пусть Y = 1, тогда:

1(0U)1  U0 1(1U)1  U1

11  U 1U  1

Пусть U = 0, тогда: Пусть U = 1, тогда: Пусть U = 0, тогда: Пусть U = 1, тогда:

1  0 1  1 10  1 11  1

Тождественно ложно! 0  1 1  1

Метод редукции: YXU , XYU , UX  UY

Докажем, что при (UY) = 0, (YXU)(XYU)(UX) = 1

(UY) = 0 выполняется только при условии, что U = 0 и Y = 0

Тогда:

(0X0)(X00)(0X) = X(X1)(1X) = X11 = X

Значит при U = 0, Y = 0, X = 1 данная секвенция недоказуема!

Метод резолюций (оптимальный): YXU , XYU , UX  UY

Приведем формулу YXU , XYU , UX  UY к КНФ

YXU,XYU,UX,(UY) = YXU,XYU,UX,U,Y

1. YXU

2. XYU

3. UX

4. U

5. Y

6. res_X,Y(1,2) = U

7. res_U(4,6) = 0

Следовательно, данная секвенция недоказуема.

4. YZ  YZ Данная секвенция доказуема!

Тождественно истина доказуема доказуема

 Z ; _{12 12} Z  Z ; ₁₂ YZ  YZ

₆ YZ,Y,Y  Z ; YZ,Y,Z  Z ; YZ,Y  YZ

₈ YZ,Y  Z

YZ  YZ

Задание №2

Найти формулу исчисления предикатов истинностью на алгебраической системе  и ложностью на .

 = <;  > ,  = <; P(x,y)> , где P(x,y) означает что x и y взаимно просты.