2. Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора на
вектор называется вектор , (рис.4) который
1) перпендикулярен векторам и , т.е.
и
(перпендикулярен плоскости, в
которой лежат вектора и ); Рис.4.
имеет длину, численно равную площади параллелограмма,
построенного на
векторах
и
как на сторонах, т.е. |
|
= |
|
∙ |
|
∙ sin
φ,
где φ
=
;
векторы , и образуют правую тройку. Три
некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую (левую) тройку, если с конца вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки (соотв. по часовой стрелке).
Обозначение: [ , ] или х .
Векторное произведение можно выразить формулой [ , ] = S ∙ , где - орт направления [ , ].
Свойства векторного произведения:
[ , ] = – [ , ].
[ , ( + )] = [ , ] + [ , ].
3. [λ , ] = [ , λ ] = λ [ , ].
4. Векторное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда sin φ = 0 (φ = 0) (перемножаемые векторы коллинеарны):
[ , ] = || (или = , или = ).
В частности: [ , ] = [ , ] = [ , ] = .
Если векторы и заданы своими координатами
= { ах, ау, аz }, = { bх, bу, bz }, то
[
,
]
=
или
[
,
]
=
.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :
S = | [ , ]| .
Площадь треугольника, построенного на векторах и :
SΔ
=
|
[
,
]
| .
Момент силы
относительно точки:
пусть в точке А
приложена сила
=
.
Момент силы
относительно точки О
(рис.5) – это
вектор
=
[
,
]
.
Линейная
скорость вращения:
скорость
точки М
твердого тела, вращающегося с угловой
скоростью
вокруг неподвижной оси, определяется
формулой Эйлера:
=
[
,
],
где – радиус-вектор точки М (рис.6).
Рис.5. Рис.6.
Пример 16. Векторы
и
образуют угол φ =
π.
Зная, что |
|
= 2 и |
|
= 6,
вычислить: а) | [ , ] |, б) | [2 + 3 , – 4 ] | .
• a) | [ , ] | = | | | | sin φ = 2 6 = 6
б) [2 + 3 , – 4 ] = 2 [ , ] – 8[ , ] + 3 [ , ] – 12 [ , ] = || [ , ] = [ , ] = || = 3 2 + 5 ( , ) – 2 2 = – 8[ , ] – 3[ , ] = – 11[ , ].
Следовательно, | [2 + 3 , – 4 ] | = | –11[ , ] | = 11 | [ , ] | = || см. а) || = 11 6 = 66.
Пример 17. Найти площадь треугольника с вершинами А (1; 2; 0), В (3; 2; 1),
С (–2, 1; 2).
• Площадь S
треугольника АВС равна половине площади
параллелограмма, построенного на
векторах
и
,
т.е. S
=
|
[
,
]
|.
.
Координаты этих векторов:
=
{3
– 1; 2
– 2;
1 –
0} = {2; 0;
1},
=
{–2 –
1; 1
– 2;
2 –
0} = {–3;
–1; 2}.
Тогда
[
,
]
=
=
–
7
–
2
=>
=> |
[
,
]
|
=
=
3
=> S =
.
Пример 18. Сила
=
{2; –4; 5} приложена к точке А
(0; 2; 1). Определить момент этой
силы относительно точки О
(–1; 2; 3).
• Момент силы
относительно точки О
есть вектор
=
[
,
].
Координаты вектора
:
=
{–1; 0; 2} =>
=>
=
[
,
]
=
= 8
+ 9
+
4
=>
=
{8; 9; 4}.