14

Модуль 5. Оптимизация систем автоматизации на моделях

Лекция 5.2. Методы оптимизации на компьютерных моделях.

1.Задачи линейного программирования

Экономические задачи привели к возникновению линейного программирования. Большинство экономических моделей являются линейными, например, задачи:

• оперативного планирования;

• объемного планирования;

• снабжения и перевозок;

• управления запасами и др.

В экономических задачах переменные интерпретируются как цены на ресурсы и продукцию. Для этих задач характерна высокая размерность (сотни и тысячи переменных ).

Технические задачи линейного программирования:

• задача составления шихт для агломерации, коксования, производства чугуна и стали;

• обнаружение и устранение неисправностей,

• раскрой материалов.

Математические постановки задач линейного программирования могут отличаться лишь ограничениями.

Виды задач линейного программирования:

1.Общая задача линейного программирования - определение набора значений варьируемых переменных Х_J, при которых достигается максимум или минимум линейной целевой функции

F( ₎ = (min) , (1)

при условиях - ограничениях в виде равенств

(2)

и в виде неравенств

(3)

При этом обязательно соблюдаются условия неотрицательности оптимальных значений варьируемых переменных:

(4)

Любое решение, удовлетворяющее системе ограничений, является допустимым решением ( допустимым планом ). Допустимое решение, доставляющее минимум (максимум) целевой функции - оптимальное решение.

2. Стандартная ( симметричная ) задача линейного программирования - определение максимума целевой функции при ограничениях, заданных в виде неравенств.

3. Каноническая ( основная ) задача линейного программирования - определение максимума при ограничениях заданных в виде равенств.

Эти три задачи могут быть преобразованы одна в другую. Необходимое преобразование зависит от выбранного метода решения. Для преобразования видов задач нужно:

1. свести задачу минимизации к задаче максимизации:

min F=-max(-F)

2. преобразовать ограничения типа неравенств:

(3)

в равенства (2)

Вводимые дополнительные переменные имеют экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражены расходы и наличие производственных ресурсов, то дополнительная переменная - неиспользуемый ресурс.

3. преобразовать все переменные в неотрицательные:

если X_k не подчинена условиям неотрицательности, то она заменяется двумя неотрицательными переменными:

X_k = U_k - V_k

Примеры задач линейного программирования.

Определение объема производства. Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план произ­водства одного или нескольких видов продукции, который обес­печивает наиболее рациональное использование имеющихся ма­териальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план бу­дет оптимальным с точки зрения какого-либо выбранного крите­рия — максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д.

Задачи планирования производства возникают на разных уров­нях в системе экономического управления: на уровне отдельных производственных цехов, участков и бригад, предприятий, отраслей, на уровне народного хозяйства в целом:

Тогда смысл обозначений в выражениях (1)-(4):

n— количество видов выпускаемой продукции;

m — количество видов производственных ресурсов (производственные мощности, сырье, рабочая сила);

а_ij — объем i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции;

с_j — прибыль от выпуска единицы j-й продукции;

b_i — количество имеющегося ресурса i-го вида;

X_j— объем выпуска j-й продукции (переменная);

(1) — целевая функция (максимум прибыли);

(2) – (3)— группа ограничений на объем имеющихся в наличии ресурсов.

Пример . Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудования, необходимыми для производства любого из четырех видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида продукции, прибыль, полу­чаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в следую­щей таблице.

Долж­но быть выпущено не менее 1 ед. продукции первого вида и 5 ед. — второго вида.

Необходимо определить, сколько продукции каждого вида надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной, и на какой вид продукции (первый или второй) выгоднее всего принимать до­полнительный заказ?

Виды ресурсов	В	иды пр	одукци	и	Запасы
	1	2	3	4	ресурсов
Сырье, кг Рабочая сила, ч Оборудование, станко-ч	3 22 10	5 14 14	2 18 8	4 30 16	60 400 128
Прибыль на единицу продукции, тыс.р.	30	25	56	48	—

Модель линейного программирования:

Зох₁ + 25х₂+ 56х₃ + 48х₄  mах,

при Зx₁ + 5х₂ + 2х₃+ 4х₄ 60,

22х₁+ 14х₂+ 18х₃+ З0х₄  400,

10х₁+ 14х₂ + 8Х₃ + 16Х₄  128,

Х₁ 1, Х₂  5, Х₃  0, Х₄  0.

Оптимальное решение задачи: Х₁ = 1, Х₂ = 5, Х₃ = 6, Х₄ = 0.

Задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе наиболее рационального способа смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами. Смесь должна содержать определенное количество компонентов, входящих в состав исходных ингредиентов. Известны стоимостные характеристики ингредиентов. Тре­буется получить искомую смесь с наименьшими затратами.

Задачи такого типа встречаются во многих отраслях промыш­ленности (металлургия, парфюмерия, пищевая промышленность, фармакология, сельское хозяйство). Примерами задач о смесях могут служить, определение состава шихты в доменном или сталеплавильном производствах.

За неизвестные в моделях оптимального смешения принима­ются доли или количества ингредиентов, идущие на приготовле­ние смеси. Различаются типы моделей, а) с одной или с большим числом смесей, б) с ограниченным или неограниченным количе­ством ингредиентов; в) по критерию производства смеси.

Пример .Однопродуктовая модель оптимального смешения'.

Здесь смысл обозначений в выражениях (1) – (4):

n — количество исходных ингредиентов;

m — количество компонентов в смеси;

л — удельный вес 1-го компонента в j-м ингредиенте;

с — стоимость единицы j-го ингредиента;

b. — минимально допустимое количество i-го компонента в смеси;

x. — количество j-го ингредиента, входящего в смесь;

(1) — целевая функция (минимум затрат на получение сме­си);

(2) — группа ограничений на содержание в смеси заданного количества компонентов;

(3) — ограничения на неотрицательность переменных.

Оптимальный раскрой материалов. Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосред­ственное использование таких материалов, как правило, крупных размеров, обычно невозможно. Предварительно их нужно разде­лить на заготовки необходимых размеров. При этом возникает не­обходимость выбора способа раскроя и интенсивности его приме­нения. Задачи такого типа, называемые задачами оптимального раскроя материалов, возникают в металлургии и машинострое­нии, лесной и лесообрабатывающей, легкой промышленности и других отраслях и используются по отношению к технологичес­ким процессам, где большая вариантность позволяет достигнуть значительного эффекта благодаря оптимизации.

В разработке плана раскроя тесно переплетаются две задачи:

Рациональный вариант раскроя. В задачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые рациональные способы раскроя, т.е. такие, для которых увеличение коли­чества заготовок любого типа возможно только за счет сокраще­ния числа заготовок какого-либо другого типа.

Пример 1. Требуется определить все рациональные способы раскроя металлического стержня длиной 100 см на заготовки трех типов длиной 20, 30 и 50 см.

Способы	3	агото	вки	Отходы
	А=50	В=30	С=20
1	2	0	0	0
2	1	1	1	0
3	1	0	2	10
4	0	3	0	10
5	0	2	2	0
6	0	1	3	10
7	0	0	5	0

Таким образом, в данном случае существует семь различных рациональных способов раскроя.

Определение интенсивности использования варианта раскроя.

Обозначения:

j — индекс типа поставляемых материалов, j = 1, 2, ..., s;

i — индекс способа раскроя, i = 1, 2, ..., р;

b_k — число заготовок вида k в комплекте, k = 1,2, ..., q;

а_ijk — количество заготовок вида k, полученных при раскрое единицы материала j-го типа i-м способом;

d_j — количество поступившего материала j-го вида;

х_ij — количество единиц j-го материала, раскраиваемых по i-му способу (интенсивность использования способа);

с_ij — величина отхода, полученного при раскрое единицы ма­териала j-го типа по i-му способу;

у — число комплектов заготовок различного типа.

Модель:

Y – max (5)

X_ij  0, i=1,..p; j=1,..s (6)

(7)

(8)

(5) — целевая функция — максимум комплектов изготавливаемых изделий;

(6) — неотрицательность переменных;

(7) — учет ограниченности ресурсов;

(8) — учет выполнения плана.

Целевая функция в зависимости от условий задачи может за­писываться и в другом виде.

Например, если требуется производить не максимум комп­лектов, а просто максимум деталей, то целевая функция:

а неравенство (7) исключится из условий.

Если требуется ориентировать производство на минимум отходов, то функционал будет выглядеть следующим образом: