Упражнения.
1. На языке
последовательностей и языке “
– ”
сформулировать определения б.б. функций
при
и a – 0 (
R),
а также при x→
+∞, –
и .
2. Пусть а,
C и
– вещественные числа, где
,
а
,
и пусть
.
Доказать, что
является б.б. функцией при
;
если же
> 0 таково, что
определена и при
x
a (например,
N), то
Указание,
Использовать
теорему 1 и пример 2 из п. 4.6. .
3. Пусть C и
– вещественные числа, где
и
,
и пусть
.
Доказать, что
является б.б. функцией при
;
если же
определена и при x
0, то
является б.б. функцией при
и при
.
4. Доказать утверждения, аналогичные утверждениям а) – г) из п.3.7.: пусть функции f и g определены в , a R; тогда
а) если
,
,
то
(здесь следует выбирать либо везде
знак “”,
либо везде знак “–”);
б) если
,
а функция g ограничена в
(в частноcти
имеет конечный предел при
x
а ),
то f
(x)
g (x)
,
–,
соответственно;
в) если
,
,
то
;
г) если
,
,
где A
R, A
0, то
.
5. Сформулировать и доказать утверждения, аналогичные утверждениям а) - г) для функций, бесконечно больших при x a 0, a – 0, где a R, а также при x , –, .