4.6. Бесконечно малые функции

Определение 1. Функцию  называют бесконечно малой функцией при x, стремящемся к a, а , ( б.м. функцией при х → а) ,если она определена в и если .

Аналогичны определения функций, бесконечно малых при x, стремящемся к , к , а также к , к – , к .

Пример 1. является б.м. функцией при х → 0 ( п.4.2., пример 1 ).

Пример 2. Пусть а, C и  – заданные вещественные числа, причем и . Степень определена, если ее основание положительно, т.е. при . Положим и покажем, что является б.м. функцией при .

Нужно доказать:

: : .

Пусть задано . Рассмотрим неравенство , т.е. . При оно равносильно неравенству , поэтому, если положить , то можем записать:  .Так как здесь  - произ- вольное положительное число, то мы установили: для любого ε>0 существует δ > 0 ( например, δ = ) такое, что для всякого х, удовлетворяющего неравенствам 0 <х – a < δ справедливо | α; (x ) | < ε. Тем самым равенство доказано.

Замечание 1 Для некоторых  > 0 степень определена и при х < a ( например, для μ N ). Для таких μ является б.м. функцией при . Доказательство аналогично приведенному выше.

Пример 3. Пусть C и  – заданные вещественные числа, причем и . Функция является б.м. функцией при .

означает : .

Пусть задано . Рассмотрим неравенство , т.е. . При оно равносильно неравенству , поэтому, если положить , то при справедливо , таким образом,  .Так как здесь  – произвольное положительное число, то равенство доказано.

Замечание 2. Если показатель  > 0 таков, что степень определена и при (например, ), то является функцией, бесконечно малой при и при . Доказательство аналогично приведенному выше.

Для б.м. функций справедливы утверждения, аналогичные теоремам о б.м. последовательностях из п.3.4.: сумма б.м. функций есть б.м. функция, произведение ограниченной функции на б.м. функцию есть б.м. функция; справедлива и теорема, аналогичная теореме 3.

Теорема 1. ( О разности между функцией и числом ) Пусть функция f определена в , , и пусть А – заданное число. Положим . Чтобы А было пределом f(x) при х, стремящемся к а , необходимо и достаточно, чтобы α (х) была б.м. функцией при

Пусть –последовательность такая, что 1) и 2) . Рассмотрим последовательности и . Так как , то по теореме 3, п.3.4.  .

Пусть . Тогда для всякой последовательности , удовлетворяющей условиям 1) и 2); следовательно, для всякой такой последовательно- сти выполняется , а это означает, что , т.е.

 . Аналогично можно доказать обратное утверждение:  .

4.7. . Бесконечно большие функции

Пусть функция  определена в , .

Определение 1. Будем говорить, что при х, стремящемся к а, функция  стремится к  ( к – , к  ), если для любой последовательности , удовлет- воряющей условиям 1) и 2) , последовательность значений функции стремится к  ( к – , к  ) соответственно , т.е. если

.

Эквивалентные условия на языке “ – ” можно записать так :

.

Если функция при стремится к , к – или к , будем запи- сывать (–, ) или (–, ). Функции, стремящиеся при к , – или , называют бесконечно большими при х, стремящемся к а (б.б. функциями при ).

Теорема 1. ( О связи между б.б. и б.м. функциями ) Пусть функция  опре- делена в , , причем при всех . Обозначим: . Тогда :

1) если , то ; 2) если , то .

1) Пусть последовательность удовлетворяет условиям 1) и 2) . Поскольку  – функция, бесконечно малая при , то . Тогда по теореме 1,п.3. 7, . Отсюда, так как – произвольная последова- тельность, удовлетворяющая условиям 1) и 2), следует: .

Утверждение 2) теоремы доказывается аналогично.

Пример 1. Пусть , при . Знаменатели этих дро- бей стремятся к нулю при , поэтому из теоремы 1 следует, что и являются б.б. функциями при .

Заметим, что если для некоторой функции справедливо или , то для нее справедливо и . Но из не следует, вообще говоря, что стремится либо к , либо к –. Так, стремится к  при ; можно также записать . Функция α₁(х) стремится к  при , при этом она не стремится ни к , ни к –.