§ 4. Предел функции

4.1. Функции одной переменной

Определение 1. Пусть X  R – некоторое множество, и пусть сформулировано правило f, в силу которого каждому числу сопоставлено некоторое число y . Тогда будем говорить, что на множестве X определена функция f, или функция f(x), или функция y  f(x) (рис.4).

Рис. 4.

Понятие, описанное определением 1, представляет собой отображение множе- ства Х в множество R (п.1.2.) . Множество X называют областью определения функ- ции f и обозначают через D(f). Число y в определении 1 называют значением функции f в точке x и обозначают через f (x). Совокупность всех значений, принимаемых функцией f в точках множества X, называют множеством значений функции f и обозначают через E(f). В записи y  f (x) букву x называют аргументом или незави- симой переменной, а y – функцией или зависимой переменной.

4.2. Предел функции при X, стремящемся к a, a  r

Ниже мы рассматриваем функции, областями определения которых являются промежутки или объединения нескольких промежутков. Наиболее часто в качестве об- ласти определения функции выступает окрестность или проколотая окрестность неко- торой точки.

В п. 3.2. окрестностью точки a, a  R мы назвали всякий интервал, содер- жащий эту точку. Проколотой окрестностью точки a, a  R назовем множество, ко- торое получается в результате удаления из окрестности самой точки a. Таким об- разом, если интервал (; ) является окрестностью точки a (т.е., если   a  ), то проколотая окрестность этой точки представляет собой объединение интервалов (; a) и (a; ); обозначать это множество будем символом . Проколотой -окрестно- стью точки a (a  R,   0) назовем объединение интервалов и ; обозначать это множество будем символом :

.

Предел функции принадлежит к начальным понятиям математического анализа. Его определение опирается на понятие сходящейся последовательности. Заметим, что если аргумент x функции f пробегает некоторую числовую последовательность , то значения функции в точках образуют числовую последовательность , где

Пусть функция f определена в проколотой окрестности , a  R, и пусть A – некоторое число. Заметим: в точке а функция может быть определена, а может быть и нет.

Определение 1. Число A назовем пределом функции f при x, стремящемся к a, если для всякой последовательности , удовлетворяющей условиям

1) все члены последовательности содержатся в и

2) последовательность сходится к а ,

соотвеетствующая последовательность значений функции сходится к A.

Будем пользоваться компактной записью условий определения 1:

N

Прочесть эту строчку можно так: для всякой последовательности {x _k}, лежа- щей в проколотой окрестности точки а и сходящейся к а , соответствующая последо- вательность {f (x _k } значений функции сходится к А.

Геометрический смысл определения 1 очевиден: какова бы ни была последова- тельность значений аргумента , сходящаяся к a (она изображается последова- тельностью точек на числовой оси, сгущающейся вокруг точки a), соответствующая последовательность значений функции изображается последовательностью точек, сгущающейся вокруг точки А.

Если число A удовлетворяет условиям определения 1, будем записывать:

или .

Пример 1. Покажем, что .

Начнем с доказательства неравенств, к которым часто будем обращаться в дальнейшем.

Лемма. При всех х справедливы неравенства

(1)

► Пусть сначала . Рассмотрим круг некоторого радиуса r, и пусть OA и OB – два радиуса этого круга, ограничивающие сектор S с центральным углом x ( рис.5.). Треугольник AOB содержится в секторе S, который, в свою очередь, содержится в прямоугольном треугольнике AOC; поэтому площадь AOB не превышает площади S,

Рис. 5.

которая не превосходит площади AOC, т.е.

,

где . Отсюда: ; а так как все части этиx неравенств неотри- цательны, то можно записать .

Пусть теперь х ; тогда t = -x лежит в , и по доказанному выше |sin t | ≤ | t |≤ | tg t | . Отсюда, так как sin(-x) = - sinx и tg(-x) = -tgx, получаем для х, при- надлежащих : , и утверждения леммы доказаны .◄

Перейдем к доказательству равенства .

► Выберем какую-нибудь проколотую окрестность точки 0 ; например, пусть это будет интервал (–1; 1), из которого удалена точка 0 : . Пусть - последовательность такая, что 1) все ее члены содержатся в и 2) . Таких последовательностей существует бесконечно много, например, , и т.п.; – одна из подобных последовательностей, любая из них. В силу неравенств (1) при всех натуральных k имеем : 0 . Отсюда и из теоремы о “сжатой “ последовательности (теорема 5, п. 3.3. ) следует: , а тогда и . Таким образом, какова бы ни была последовательность , удовлетворяющая сформулированным выше условиям 1) и 2) , соответствующая последовательность сходится к A = 0 ; следовательно, в силу определения 1 ◄

Пример 2. Пусть f (x) =[ x ], где [ x ] есть целая часть числа х, т.е. наиболь- шее из целых чисел, не превосходящих х (если n x < n+1 , где n Z, то [x]= n ). На рис .6. изображен график этой функции. Покажем, что она не имеет предела при х, стремящемся к нулю.

Рассмотрим какую-нибудь проколотую окрестность точки 0, например, интервал (–1; 1), из которого удалена точка 0. Обозначим и и рассмотрим б.м. последовательности и . Каждая из них удовлетво- ряет требованиям 1) и 2) определения 1. Очевидно, при всех натуральных k и .; поэтому и . Таким образом, для указан-ных последовательностей и соответствующие им последовательности и значений функции имеют различные пределы.

Рис. 6.

Следовательно, не существует числа A, удовлетворяющего определению 1.

Приведём еще одно определение предела функции, эквивалентное опреде- лению 1, но сформулированное в других терминах.

Пусть функция f определена в , a  R, и пусть A – некоторое число.

Определение 2. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к a, если для любого   0 существует   0 такое, что при всех x , удовлетворяющих неравенствам 0 < , справедливо

неравенство .

Запишем условия этого определения, используя логические знаки :

  0   0: x  R .

Прочитать эту строчку можно так : для любого положительного ε существует положительное δ такое, что для всякого вещественного х, удовлетворяющего нера- венствам 0 < |x – a | < δ , соответствующее значение функции f (x) удовлетворяет неравенству | f (x) - A | < ε.

Условия определения 2 можно записать еще и так :

  0   0 x  R .

Геометрический смысл записи представлен на рис.7:

Рис. 7.

как только расстояние от х до точки а становится меньше δ, так сразу расстояние между точкой f(x) и точкой A становится меньше . Существенно, что , облада- ющее указанным свойствам, существует для любого , как бы мало оно ни было.

Как уже было сказано выше, определения 1 и 2 эквивалентны, т.е. они описыва- ют одно и то же математическое понятие – предел функции f при x, стремящимся к a. Конечно, их эквивалентность подлежит доказательству ; это доказательство можно найти в учебниках [1] и [2].

В дальнейшем определение 1 будем называть определением предела функции на языке последовательностей, а определение 2 – определением предела функции на языке “  – ”.

Пример 3. На языке ‘ ε- δ’ доказать, что .

Неравенство в нашем примере выглядит так: . Таким образом, нужно показать, что для любого   0 можно подобрать   0 такое, что если , то . Согласно неравенствам (1) , поэтому если , то . Следовательно, для всякого   0 можно указать   0 ( например,   ) такое, что  ; поэтому .

4.3. Односторонние пределы

Пусть функция f определена на некотором интервале (a; b) и пусть A – некоторое число.

Определение 1. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к a справа, если для всякой последовательности такой, что

1) все ее члены лежат на (а ; b) и

2) она сходится к а , соответствующая последовательность значений функции сходится к А , т.е.

.

Это определение сформулировано на языке последовательностей. Сформулируем эквивалентное определение на языке “ ε- δ”

Пусть функция f определена на некотором интервале (a;b) и пусть А – некоторое число..

Определение 1΄. Число А называют пределом функции f при х, стремящемся к а справа, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всякого х, удов- летворяющего неравенствам а < x < x+δ, соответствующее значение функции f (x) удовлетворяет неравенству | f (x) – A | < ε , т.е.

  0   0: x  R .

. Если A есть предел функции f при x, стремящемся к a справа, будем записывать: или или A  f (a  0).

Определение 2. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к b слева, если ( на языке последовательностей )

,

или если ( на языке “ ε- δ” )

  0   0: x  R .

Если A является пределом функции f при x, стремящимся к b слева, будем применять обозначения: или или A  f(b – 0).

Теорема 1. ( О связи предела функции с ее односторонними пределами )

Пусть функция f определена в , , и пусть A – некоторое число. Для того чтобы A было пределом функции f при , необходимо и достаточно, чтобы A было односторонним пределом функции f как при х, стремящемся к а справа, так и при х , стремящемся к а слева..

Необходимость. Пусть . Зададим ; найдется такое, что  , а это означает, что справедливы два утверждения:

 ; (2)

 . (3)

Так как было задано произвольно, то из (2) следует :

: ,

т.е. . Из (3) аналогично следует: .

Достаточность. Пусть . Зададим . Так как , найдется такое, что  . Так как , найдется такое, что  . Обозначим : . Заметим: если х удовлетворяет неравенствам 0 < | x- a | < δ , то для него справедливо либо < < а , либо . И в том, и в другом случае выполняется . Таким образом, 0 < | x- a | < δ  . Но было задано произвольно. Значит,

: ,

поэтому .

Упражнение. Для функции f примера 2 , п. 4.2 , показать, что ; ( пишут вместо x → 0 - 0 ; х→ +0 пишут вместо ).

4.4. Предел функции на бесконечности

Пусть функция f определена на интервале , где , и пусть A – некоторое число.

Определение 1. Число A называют пределом функции f при x, стремящем- ся к +, если для всякой последовательности , удовлетворяющей условиям

1) все члены последовательности содержатся в интервале ( а ;+∞) и

2) х , соответствующая ей последовательность значений функции сходится к A, т.е. если΄

.

Это определение сформулировано на языке последовательностей. Приведем формулировку эквивалентного определения на языке “ ε – δ”

Пусть функция f определена на интервале ( а ;+∞ ), где а R, и пусть А - некоторое число.

Определение 1′. Число А называют пределом функции f при х, стремящемся к +∞, если для любого ε > 0 существует Δ > 0 такое, что для всякого х, удовлетво- ряющего неравенству x > Δ , соответствующее значение функции f (x) удовлетворяет неравенству , т.е. если

R

Если число A удовлетворяет условиям одного из этих определений, будем записывать , или , или .

Пусть функция f определена на интервале , где , и пусть A – некоторое число.

Определение 2. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к , если ( на языке последовательностей )

,

или если ( на языке “ ” )

> 0 R .

Если число A удовлетворяет условиям определения 2, будем записывать

, или , или .

Пусть a и b – некоторые числа, . Объединение интервалов и будем называть проколотой окрестностью бесконечности и обозначать символом : .

Определение 3. Пусть функция f определена в и пусть A – некоторое число. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к , если

( на языке последовательностей )

,

или если ( на языке “ε−δ” )

: .

Если число A удовлетворяет условиям этого определения, будем записывать

, или , или A  f().

Пример 1. Пусть . Этим равенством f определена при всех , т.е. она определена в проколотой окрестности бесконечности = (-∞ ;0 ) (0 ;+∞). Покажем, что

Докажем равенство Пусть – некоторая последова- тельность, такая, что 1) при всех k N и 2) . Заметим: , причем , так как х (п. 3.4., теорема 1) . Значит, f (x )→1. Здесь - произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 1) и 2). Следователь- но, число 1 удовлетворяет определению 1 . Доказательства равенств и аналогичны.

В рассмотренном примере все три предела одинаковы. Это не случайно, ибо справедлива теорема, аналогичная теореме 1, п.4.3 .

Теорема 1. ( О связи предела функции при х→∞ с ее пределами при х→+∞ и при → -∞) Пусть функция f определена в , и пусть A – некоторое число. Для того чтобы A было пределом f при , необходимо и достаточно, чтобы A было пределом f как при , так и при .

► Необходимость. Пусть А = . Зaдадим некоторое ε > 0. В силу определения 3. найдется Δ > 0 такое, что для всякого вещественного х, удовлетво- ряющего неравенству │х│> Δ справедливо │f (x) – A │< ε. В частности, последнее неравенство справедливо при х > Δ : х > Δ ═›|f (x) – A| < ε.

Здесь положительное ε было задано произвольно, так что можем записать :

В силу определения 1 это означает: Доказательство равенства проводится аналогично.

Достаточность. Пусть Зададим некоторое ε>0. Так как , в силу определения 1 существует Δ₁> 0 такое, что при всех х > Δ₁ справедливо | f (x) – A | < ε. Так как , в силу определения 2 су- ществует Δ₂ >0 такое, что при всех х <- Δ₂ справедливо не равенство | f(x) – A| < ε. Обозначим: Δ = max { Δ₁, Δ₂ }. Если х удовлетворяет неравенству |х| > Δ , то для него справедливо либо х> Δ₁ , либо х <- Δ₂ . И в том, и в другом случае выполняется . Таким образом, |х| > Δ  . Но было задано произ- вольным. Значит,

В силу определения 3. это означает : ◄

Пример 2. Доказать: (число e было введено в п. 3.6.).

► Заметим, что степень определена для тех x, при которых , т.е. при и . Таким образом, функция определена в = (-∞ ;-2) . Из теоремы 1 следует, что достаточно доказать равенства и .

*) Докажем, что .

Пусть – последовательность такая, что 1) и 2) х . Обозначим через целую часть числа , т.е. - натуральное число такое, что . Из этих неравенств для х _k следует :

(4)

Так как , то и ; поэтому из равенства ( см. п. 3.6., Следствие) следует:

; .

Отсюда: ,

.

Теперь из (4) и теоремы о “сжатой“ последовательности (п.3.3. теорема 5) следует: , т.е. . Здесь – произвольная последовательность, удовлетворяющая указанным выше условиям 1) и 2), так что

.

В силу определения 1 .

**) Докажем равенство .

Пусть – некоторая последовательность такая, что

1 ) , и 2) . Обозначим: . Очевидно, , и по доказанному в *) . Справедливы равенства :

.

Отсюда : , и равенство доказано.

Теперь из *) , **) и теоремы 1 следует .

4.5. Некоторые теоремы о пределах

Теоремы этого пункта аналогичны теоремам из п.3.3.

Теорема 1. ( О единственности предела ) Пусть функция f определена в проколотой окрестности , . Если предел функции f при x, стремящемся к a существует, то только один.

Предположим, что нашлись два различных числа A и B, каждое из кото- рых является пределом функции f при x, стремящемся к а. Пусть – некоторая последовательность такая, что 1) все ее члены содержатся в и 2) . В си- лу определения 1, п.4.2., последовательность значений функции должна сходиться и к числу A, и к числу B, а это противоречит теореме о единственности предела последовательности

Теорема 2. (О стабилизации знака неравенства ) Пусть . а p – некоторое число, ( ). Тогда существует такое, что при всех , справедливо неравенство .

Пусть . Положим . В силу определения 1',п. 4.2., найдется такое, что при всех справедливо неравенство , кото- рое эквивалентно неравенствам . Но . Значит, при всех справедливо , что и требовалось доказать. Доказательство теоремы в случае аналогично.

Теорема 3. (О предельном переходе в неравенстве ) Пусть функции f и g определены в , и пусть , . Если при всех имеет место (f (x) ≥ g (x) ), то и (A≥ B )..

Пусть – некоторая последовательность такая, что 1) все ее члены содер- жат ся в и 2) . Рассмотрим последовательности и . Так как при всех имеет место (f (x) ≥ g (x) ),, то ( f (x_k) ≥ g(x_k ) ) В силу теоремы 4. , п.3.3., отсюда следует ( A≥ B ).

Следствие. Пусть f определена в и пусть при всех х справедливо ( f (x) B), где В - некоторое число. Если . то ( ).

► Введем в рассмотрение функцию g , тождественно в равную В , т.е. для всех g (x) = B. Очевидно, Можем записать: при справед- ливо f (x) ≤ ≤g(x) ( f (x) ≥ g (x) ) В силу теоремы 3 А ≤ В ( A ≥ B ). ◄

Замечание 1. Если при всех имеет место строгое неравенство ( f (x) > g (x) ) , то ,вообще говоря, для пределов A и B отсюда не следует строгое неравенство А< В ( A > B ), т.е. возможно равенство А = В. Действительно, если , а , то при имеем . Таким образом, в проколотой окрестности точки 0 , но .

Теорема 4. ( О “ сжатой“ функции ) Пусть функции f, g и h определены в и удовлетворяют требованиям

:1) при всех и 2) , . Тогда функция g имеет предел при , причем .

Пусть – некоторая последовательность такая, что 1) все ее чле- ны содержатся в и 2) . Из условий теоремы вытекает: и . Отсюда и из теоремы 5 ,п.3.3., получим: . Так как – произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 1) и 2), то в силу определения 1, п.4.2., .

Теорема 5. ( Об арифметических действиях с пределами ) Пусть функции f и g определены в и пусть , . Тогда

а) ;

б) ;

в) если , то .

Докажем сначала утверждения а) и б). Пусть – произвольная после- довательность такая, что 1) все ее члены содержатся в и 2) . В силу условий теоремы и , а тогда А+В и . Так как – произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 1) и 2), то из определения 1, п. 4.2., следуют равенства а) и б) .

Докажем утверждение в). Будем считать для определенности, что . Пусть p – некоторое число, для которого выполнены условия . Согласно теореме 2 найдется такое, что при всех справедливо . Значит, если – произвольная последовательность такая, что 1) все ее члены содер- жатся в и 2) , то все члены последовательности отличны от нуля, и потому можно опереться на утверждение в) теоремы 1, п. 3.5: . В силу определения 1, п. 4.2., отсюда следует:

Замечание 2. Теоремы, аналогичные теоремам этого параграфа, справедливы и для пределов при x, стремящемся к и ( ), а также к , – и  .

Упражнение. Сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам этого параграфа для случаев, когда x стремится к , ( ), , – и  .