Средние величины

Средняя величина – обобщающая характеристика варьирующего признака единиц статистической совокупности. В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами, и находят выражение общие и закономерные черты, свойственные всей совокупности в целом. Индивидуальные значения признака (варианты), из которых вычисляется средняя величина, должны быть одного и того же вида, т. е. должны характеризовать однородные явления и иметь одинаковые единицы измерения.

Существуют две категории средних величин:

степенные средние;

структурные средние.

При расчете степенных средних используются две формы средней величины:

простая средняя – рассчитывается по несгруппированным данным имеет следующий вид: ;

взвешенная средняя – рассчитывается по сгруппированным данным, т.е. для вариационного ряда распределения, имеет следующий вид: ,

где X_i – индивидуальное значение признаков (варианты); ƒ_i – соответствующие частоты ((w_i) частости); m – показатель степени.

Различают следующие виды степенных средних величин: 1) При m = 1 → средняя арифметическая величина. 2) При m = -1 → средняя гармоническая величина. 3) При m = 0 → средняя геометрическая величина. 4) При m = 2 → средняя квадратическая величина. 5) При m = 3 → средняя кубическая величина.

Выбор формулы для расчета средней величины зависит от имеющейся исходной информации.

Средняя арифметическая величина

Средняя арифметическая простая величина определяется по формуле . Эта формула применяется в тех случаях, когда исходные данные не сгруппированы (не образованы в группы по какому-то признаку) и каждой единице совокупности соответствует определенное значение признака, либо, когда все частоты (частости) равны между собой.

Средняя арифметическая взвешенная величина определяется по формуле: . Эта формула применяется в тех случаях, когда исходные данные сгруппированы, и каждой группе единиц совокупности соответствует определенное значение признака (вариант).

Для расчета средней арифметической величины в интервальном вариационном ряду необходимо: 1) Закрыть имеющиеся открытые интервалы группировки. 2) Найти середины каждого интервала, т. е. привести интервальный ряд к дискретному виду. 3) Найти произведение середин интервалов на соответствующие частоты (частости).

Разновидность средней арифметической простой – средняя хронологическая:

Свойства средней арифметической:

1. Свойства сущностного характера

2. Свойства вычислительного характера

Средняя гармоническая величина

Формула простой средней гармонической величины имеет следующий вид: , где n = ∑ f_i (сумма частот).

Формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид: , где F_i=x_i×f_i. Эта формула применяется в тех случаях, когда в качестве исходных данных приводятся индивидуальные значения признака (варианты) и произведения индивидуальных значений признака на соответствующие частоты (частости).

Средняя геометрическая величина

Расчет средняя геометрическая величина производится по формулам:

- простой ,

- взвешенной .

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.