2.2. Задача о рюкзаке. Уравнение Беллмана для задачи о рюкзаке.
Задача о рюкзаке.
Рассмотрим на примере задачи о рюкзаке, что понимается под шагом, состоянием, управлением и выигрышем.
Загрузку рюкзака можно представить себе как процесс, состоящий из n шагов. На каждом шаге требуется ответить на вопрос: взять данный предмет в рюкзак, или нет? Таким образом, шаг процесса – присваивание переменной xi значения 1 или 0.
Теперь определим состояния. Очевидно, что текущее состояние процесса характеризует остаточная грузоподъемность рюкзака – вес, который остался в нашем распоряжении до конца (до полной укладки рюкзака). Следовательно, под состоянием перед i-м шагом понимается величина
si-1
= b
-
,
i=2,
. . . , n,
(2.6)
при этом s0 является начальным состоянием, которому соответствует величина b – исходная грузоподъемность рюкзака.
Управление на i-м шаге означает присваивание двоичной переменной xi значения 0 или 1. Значит, на каждом шаге имеем всего два управления. Причем допустимость управления ui, устанавливающего xi=1, определяется условием
si
= σ(si-1,
ui)
= si-1
–
ai
xi
=b -
≥
0
(2.7)
Далее везде вместо переменных x1, x2, . . . , xn будем использовать соответствующие управления u1, u2, . . . , un. Тогда формулы (2.6), (2.7) примут следующий вид:
si-1
= b
-
,
i
= 2, . . ., n,
(2.8)
si
= σ(si-1,
ui)
= si-1
- ai
ui
= b
-
≥
0 (2.9)
Шаговый выигрыш можно определить как wi = ci ui. Поэтому
W
=
=
.
(2.10)
Требуется
найти оптимальное управление U*
= (
,
,
. . . ,
),
при котором величина выигрыша (2.10)
обращается в максимум.
Уравнение Беллмана для задачи о рюкзаке.
Пусть к началу n- шага остаточная грузоподъемность равна s. Оптимальное управление определяется следующим образом:
если s-an ≥ 0, то последний предмет можно положить в рюкзак, что соответствует оптимальному управлению Un(s) = un = 1;
иначе Un(s) = un = 0.
Ясно, что оптимальный условный выигрыш на n-ом шаге составит
Wn(s) = cn un.
Рассмотрим (n-1)-й шаг. Предположим, что остаточная грузоподъемность равна s. Если на этом шаге выбрать управление u, то на начало последнего шага остается вес s-an-1u. Тогда выигрыш двух последних шагах будет равен
cn-1u + Wn (s –an-1u).
Нужно найти такое u, при котором этот выигрыш максимален
Wn-1(s) = max {cn-1u + Wn(s –an-1u)} ,
Где максимум берется по всем допустимым управлениям – управлениям, для которых верно ограничение (2.9). Напомним, что u может принимать лишь два значения: 0 или 1.
Рассуждая далее аналогичным образом, приходим к рекуррентному уравнению
Wi(s) =max {ciu + Wi+1 (s – aiu)}, (2.11)
которое позволяет для любого i-го шага вычислить условный оптимальный выигрыш и найти соответствующее ему условное оптимальное управление Ui(s)=u*. Здесь u* - значение, при котором достигается максимум в (2.11). [6]