Решение задачи линейного программирования

5.2Анализ на чувствительность к изменению количества часов квалифицированного

Введение

Каждый день человек делает выбор, начиная от самых простых и заканчивая тяжелыми и судьбоносными. Этот выбор может быть связан с определенными затратами, либо с планируемой прибылью, он так же может быть связан и с другими, не поддающимися численным описаниям, факторами, зависящими от самого человека в частности или от каких-либо других вещей.

Например, предприятие, производящее определенного рода продукцию, заинтересовано в повышении своей прибыли, или человек, приобретая разный товар, хочет, чтобы отношение цена – качество было минимальным. Представленные модели хорошо описываются математически, но порой возникает задача, когда только математическое решение, даже если оно оптимально, не всегда удовлетворяет потребности заинтересованных лиц.

Представим себе магазин, где производят за считанные минуты сувениры, игрушки и другие вещи, которые можно дарить как детям, так и взрослым. Прибыль магазин получает от самого заказа, времени его выполнения и от того, остался ли клиент доволен. Мы можем нанять необходимое количество рабочих, выполняющих разнообразные заказы быстро, чтобы повысить прибыль, но если мы забудем предложить клиенту вид упаковки, то проиграем в том, что клиент будет недоволен сервисом. Или другой вариант, например, наш магазин посещает большое число родителей с детьми. Пока они будут ждать свой заказ, дети могут начать баловаться, что будет нервировать родителей и негативно скажется на прибыли магазина. Выход может быть найден, если нанять на работу клоуна, который будет развлекать детей, вследствие чего клиент останется доволен.

Из приведенного примера видно, что решение какой-то проблемы не всегда сводится к нахождению оптимальной пропорции или нужной константы, порой необходимо найти некоторое неординарное решение, которое избавит нас от проблемы, и может быть, малыми средствами.

Исследование операций – наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее оптимального управления организационными системами.

На практике реализация методов исследования операций должна включать следующие этапы:

1.Формализация исходной проблемы;

2.Построение математической проблемы;

3.Решение модели;

4.Проверка адекватности модели;

5. Реализация решения.

Формализация проблемы требует исследования той предметной области, где возникла рассматриваемая проблема. В результате должны быть получены следующие три принципиальных элемента решаемой задачи. 1) описание возможных альтернативных решений, 2) определение целевой функции, 3) построение системы ограничений, накладываемых на возможные решения.

Построение математической проблемы означает перевод форматизированной задачи, описание которой получено на предыдущем этапе, на четкий язык математических соотношений. Если получаемая модель является одной из стандартных математических моделей, таких как модель линейного программирования, то решение обычно достигается путем использования соответствующих существующих алгоритмов. Если же результирующая модель очень сложная и не приводится к какому-либо стандартному типу моделей, то нужно упростить модель, либо использовать другие подходы и методы. В некоторых случаях комбинация разных моделей может привести к решению исходной проблемы.

Решение модели – наиболее простой из всех этапов реализации методов исследования операций, так как здесь используются известные алгоритмы оптимизации. Важным аспектом этого этапа является анализ чувствительности полученного решения. Это подразумевает получение дополнительной информации о поведении оптимального решения при изменении некоторых параметров модели. Анализ чувствительности особенно необходим, когда невозможно оценить параметры модели. В этом случае важно изучить поведение оптимального решения в окрестности первоначальных оценок значений параметров модели.

Проверка адекватности модели предполагает проверку правильности модели, то есть определении того, соответствует ли поведение модели в определенных ситуациях поведению исходной реальной системы. Но сначала надо убедиться, что решение, полученное в рамках построенной модели, имеет смысл и интуитивно приемлемо. Формальным общепринятым методом проверки адекватности модели является сравнение полученного решения (поведение модели) с известными ранее решениями или поведением реальной системы. Модель считается адекватной, если при определенных начальных условиях ее поведение совпадает с поведением исходной системы при таких же условиях. Конечно, это не гарантирует, что при других начальных условиях поведение модели будет совпадать с поведением реальной системы. В некоторых случаях в силу разных причин невозможно прямое сравнение модели с реальной системой или сравнение решений, полученных в рамках этой модели, с известными решениями (например, из-за

4 tbicr

2Построение базовой аналитической модели

Вданной задаче требуется определить, какое количество автомобилей «Шторм» и «Торнадо» нужно выпускать автозаводу, чтобы получать максимальную прибыль.

Для построения математической модели задачи введем переменные. Обозначим

через x1 количество автомобилей «Шторм», а через x2 – количество автомобилей

«Торнадо», выпускаемых автозаводом.

В данной задаче имеются ограничения:

а) на квалифицированный и неквалифицированный труд; б) на максимальные расходы, связанные с производством автомобилей;

в) на максимальное количество вывозимых с завода автомобилей.

Найдем количество часов неквалифицированного и квалифицированного труда в неделю. Так как на заводе работают 1000 неквалифицированных и 800 квалифицированных рабочих, предоставляющих неквалифицированный и квалифицированный труд соответственно, а в неделю каждый рабочий работает по 40 часов, то на автозаводе в неделю предоставляется 40×1000 = 40000 часов неквалифицированного и 40 ×800 = 32000 часов квалифицированного труда.

Найдем максимально допустимое количество автомобилей, вывозимых с завода в неделю. Так как ежедневно с завода можно вывозить не более 210 автомобилей, а рабочая неделя составляет 5 дней, то в неделю с завода можно вывозить не более 210×5 =1050 автомобилей.

Затраты на выпуск автомобилей приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Затраты на выпуск автомобилей

Составим ограничение на пользование неквалифицированным трудом. Для производства одного автомобиля «Шторм» требуется 30 часов неквалифицированного

8 tbicr

труда, для производства одного автомобиля «Торнадо» – 40 часов неквалифицированного труда. Следовательно, для выпуска автомобилей «Шторм» потребуется 30x1 часов неквалифицированного труда, а для «Торнадо» – 40x2 часов, то есть всего будет

Аналогично составим ограничение на пользование квалифицированным трудом:

Составим ограничение на максимальные расходы, связанные с производством автомобилей:

принимать отрицательных значений, а так же должны быть целыми. Поэтому необходимо указать ограничения на неотрицательность и целочисленность:

«Шторм» составляет 1000 ден. ед., от одного автомобиля «Торнадо» – 500 ден. ед. Значит