Например,

В п - мерном евклидовом пространстве можно ввести так называемый ортонормированный базис :

где – символ Кронекера.

Задание для самостоятельного решения

Ортонормированный базис можно построить с помощью линейных комбинаций векторов, входящих в произвольный базис. Укажите процедуру получения ортонормированного базиса из произвольного.

Координаты вектора в ортонормированном базисе называются коэффициентами Фурье¹. Коэффициенты Фурье выражаются с помощью скалярного произведения:

т.е. (2.22.3)

В ортонормированном базисе скалярное произведение всегда записывается «естественным» образом:

Отсюда ясно, что если базис не ортонормированный, то формула для вычисления скалярного произведения может существенно усложниться.

Задание для самостоятельного решения

1. Подумайте, образует ли множество матриц:

1. линейное пространство,

2. евклидово пространство.

2. Почему в евклидовом пространстве в явном виде не говорилось о коллинеарных векторах.

3. Приведите примеры ортонормированных базисов в

2.23. Плоскость и гиперплоскость

Рассмотрим в обычном (геометрическом) пространстве декартову систему координат. Каждая точка этого пространства отождествляется с упорядо –

ченной тройкой чисел и возникает математическое пространство Условимся произвольную точку M(x, y, z) ассоциировать с концом радиуса-вектора (рис. 2.15). Вполне ясно, что любую плоскость в можно задать с помощью следующих величин:

1. единичного вектора , направленного по нормали к плоскости;

2. расстояния р от точки О до плоскости.

Тогда, очевидно,

Д ля того чтобы точка М лежала на заданной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы вектор был ортогонален , т.е.

или

(2.23.1)

(2.23.1) называют уравнением плоскости в нормальном виде в векторной форме.

Вспоминая, что из (2.23.1) получаем уравнение плоскости в нормальном виде в координатной форме:

(2.23.2)

(2.23.2) представляет собой линейное уравнение между тремя переменными x, y, z частного вида. Если взять линейное уравнение общего вида

(2.23.3)

то оказывается, что его можно свести к (2.23.2). Действительно, умножим равенство (2.23.3) на некоторое число μ :

и попробуем подобрать μ так, чтобы получилось уравнение вида (2.23.2):

Произведения можно «выдать» за направляющие косинусы,

если

откуда

т.е.

(2.23.4)

При этом величина должна быть неположительной. Поэтому знак у μ выбирают противоположным знаку D.

Таким образом, уравнение (2.23.3) также есть уравнение плоскости. Оно называется общим уравнением плоскости. Для того чтобы перейти от (2.23.3) к (2.23.2), достаточно умножить (2.23.3) на так называемый нормирующий множитель (2.23.4)

Рассмотрим вектор

(2.23.5)

Так как , то ясно, что вектор (2.23.5), составленный из коэффициентов при x, y, z , направлен по нормали к плоскости (2.23.3) и называется нормальным вектором плоскости.

П р и м е р. Пусть дано общее уравнение плоскости:

.

Тогда вектор ортогонален данной плоскости.

Приведём уравнение плоскости к нормальному виду:

Т аким образом,

Отметим частные случаи расположения плоскости относительно системы координат:

1. – проходит через начало координат;

–параллельна оси абсцисс (рис.2.16); случаи В = 0 и С = 0 – аналогичны;

3. – проходит через ось абсцисс; случаи – аналогичны;

4. – перпендикулярна оси аппликат; аналогичны случаи

5. – уравнение координатной плоско­сти 0xy; аналогичны случаи

Вопросы

1. Как записать уравнение связки плоскостей (т.е. множества плоскостей), проходящих через заданную точку

2. Как записать уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки

3. Как записать условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями?

4. Как ввести понятие угла между плоскостями ? Как вычислить величину этого угла, если плоскости заданы общими уравнениями?

5. Что представляет собой множество

6. Что может представлять собой пересечение множеств

В математическом пространстве с ортонормированным базисом, которое при п>3 геометрической интерпретации не имеет, вводится понятие гиперплоскости². Общее уравнение гиперплоскости имеет вид:

(2.23.6)

Нормальный вектор гиперплоскости

(2.23.7)

Уравнение гиперплоскости в нормальном виде

(2.23.8)

получается умножением (23.6) на нормирующий множитель

Вместо (2.23.8) можно записать (2.23.1):

где

– радиус -вектор;

– нормированный вектор, направленный по нормали к гиперплоскости.

В пространстве с ортонормированным базисом не представляет труда ввести многие привычные понятия: уравнение связки плоскостей; уравнение плоскости, проходящей через п заданных точек; полупространство; выпуклый³ многогранник и т.д.

Множество является линейным пространством размерности п –1. Поэтому говорят, что любая гиперплоскость в имеет размерность п –1.