Тема 9 коливання і хвилі
9.1 Основні поняття і співвідношення
Механічні коливання
Рівняння гармонічних коливань
,
(9.1)
- зміщення
частинки, що коливається, від положення
рівноваги;
- амплітуда коливань;
- колова (циклічна) частота;
- частота;
- період коливань;
- початкова фаза.
Швидкість і прискорення точки, що здійснює гармонічні коливання:
,
(9.2)
,
(9.3)
- амплітуда коливань; - колова (циклічна) частота; - початкова фаза.
Сила,
що діє на матеріальну точку масою
,
яка здійснює коливання:
,
(9.4)
- зміщення точки з положення рівноваги.
Кінетична енергія точки, що здійснює прямолінійні гармонічні коливання
(9.5)
Потенціальна
енергія точки, яка здійснює гармонічні
коливання під дією пружної сили
:
(9.6)
Механічна енергія:
.
(9.7)
Диференціальне рівняння гармонічних коливань матеріальної точки масою :
або
,
(9.8)
- зміщення
точки з положення рівноваги.
- коефіцієнт пружності;
- циклічна частота.
Розв’язок цього рівняння
.
(9.9)
Період коливань математичного маятника
,
(9.10)
- довжина
маятника;
- прискорення вільного падіння.
Період коливань пружинного маятника:
,
(9.11)
- маса тягарця пружинного маятника; - жорсткість пружини.
Період коливань фізичного маятника:
,
(9.12)
- момент
інерції маятника відносно осі коливань;
- відстань між точкою підвісу і центром
мас маятника;
- зведена довжина фізичного маятника;
- прискорення вільного падіння.
Амплітуда результуючого коливання, що одержується при додаванні двох гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти:
.
(9.13)
Початкова фаза результуючого коливання:
,
(9.14)
і
- амплітуди двох коливань, що додаються;
і
- початкові фази коливань.
Період биття:
,
(9.15)
- різниця
частот коливань, що додаються
.
Рівняння траєкторії руху точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакової частоти (рівняння еліпса):
(9.16)
і
- амплітуди коливань, що додаються;
- різниця фаз обох коливань.
Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань і його розв’язок:
,
(9.17)
- зміщення
тіла, що коливається від положення
рівноваги;
- коефіцієнт згасання;
- власна частота коливної системи;
- частота згасаючих коливань;
- амплітуда згасаючих коливань.
Декремент згасання
(9.18)
і
- амплітуди двох послідовних коливань,
що відрізняються на період.
Логарифмічний декремент згасання
(9.19)
і
- амплітуди двох послідовних коливань,
що відрізняються на період.
- коефіцієнт згасання;
- період згасаючих коливань;
- час релаксації;
- число коливань, що здійснюються за час
зменшення амплітуди в
разів.
Добротність коливної системи:
(9.20)
-
логарифмічний декремент згасання;
- циклічна частота вільних незгасаючих
коливань тієї ж коливної системи;
- коефіцієнт згасання.
Диференціальне рівняння вимушених механічних коливань і його розв’язок для усталених коливань
,
(9.21)
- зміщення
тіла, що здійснює коливання, з положення
рівноваги;
- амплітуда вимушуючої сили;
- маса тіла
,
(9.22)
- власна частота тієї ж коливної системи; - частота зовнішньої вимушуючої сили; . - коефіцієнт згасання.
Резонансна частота і амплітуда
,
(9.23)
- власна частота тієї ж коливної системи;. - коефіцієнт згасання, - амплітуда зовнішньої вимушуючої сили; - маса тіла.
Пружні хвилі
Зв'язок
між довжиною хвилі
,
періодом
коливань і частотою
,
(9.24)
- швидкість
поширення коливань в середовищі (фазова
швидкість)
Хвильове число
(9.25)
- довжина хвилі; - фазова швидкість; - період коливань.
Рівняння
плоскої хвилі, що поширюється вздовж
додатного напрямку осі
:
(9.26)
- зміщення
точок середовища з координатою
в момент часу
;
- амплітуда хвилі;
- циклічна частота;
- хвильове число;
- початкова фаза коливань.
Рівняння сферичної хвилі
(9.27)
- зміщення
точок середовища на відстані
від центра хвилі в момент часу
;
- стала величина;
- циклічна частота;
- хвильове число;
- початкова фаза коливань.
Хвильове рівняння
(9.28)
- оператор
Лапласа;
- фазова швидкість.
Хвильове
рівняння для плоскої хвилі, що поширюється
вздовж осі
(9.29)
Фазова
і групова
швидкості і зв'язок між ними:
;
;
(9.30)
- циклічна частота; - хвильове число; - довжина хвилі.
Зв'язок
між різницею фаз
і різницею ходу хвиль
:
(9.31)
Умови максимуму і мінімуму амплітуди при інтерференції хвиль
,
(9.32)
;
- довжина хвилі.
Рівняння стоячої хвилі
.
(9.33)
Координати пучностей і вузлів стоячої хвилі
,
(9.34)
Ефект Допплера в акустиці
(9.35)
- частота
звуку, що сприймається рухомим приймачем;
- частота звуку, що посилається джерелом;
- швидкість руху приймача;
- швидкість руху джерела;
- швидкість поширення звуку. Верхній
знак беруть, якщо при русі джерела чи
приймача відбувається їх зближення,
нижній знак – у випадку їх віддалення.
Швидкість поздовжніх хвиль в тонких стержнях:
(9.36)
- модуль
пружності,
- густина матеріалу стержня.
Швидкість звуку в газах:
(9.37)
і
- тиск і густина газу, не збуреного
хвилею;
- відношення теплоємності газу при
сталому тиску до теплоємності при
сталому об’ємі.
Амплітуда
звукового тиску
і амплітуда швидкості
частинок у звуковій хвилі пов’язані
співвідношенням:
(9.38)
Інтенсивність
звуку
,
тобто енергія, що переноситься звуковою
хвилею за одиницю часу через одиничну
площадку, перпендикулярну напрямку
поширення хвилі, виражається через
амплітуду звукового тиску:
(9.39)
- густина газу.
Рівень інтенсивності звуку (в децибелах) визначається формулою
(9.40)
-
інтенсивність даного звуку;
Вт/м2
– інтенсивність звуку на порозі чутності
при стандартній частоті
Гц.
Рівень гучності звуку (в фонах) обчислюється за формулою
-
інтенсивність звуку частоти
Гц, що має однакову гучність з досліджуваним
звуком.