5.4 Задачі для самостійного розв’язування

І РІВЕНЬ

5.1.1. Кулька на нитці підвішена до стелі трамвайного вагона. Вагон гальмує, і його швидкість за час =3 с рівномірно зменшується від =18 км/год до =6 км/год. На який кут відхилиться при цьому нитка з кулькою?

5.1.2. Вагон гальмує, і його швидкість зменшується за час =3,3 с зменшується від =47,5 км/год до =30 км/год. Яким повинен бути граничний коефіцієнт тертя між валізою і полицею, щоб валіза при гальмуванні почала ковзати по полиці?

5.1.3. Диск обертається навколо вертикальної осі з частотою =30 об/хв.. На відстані =20 см від осі обертання на диску лежить тіло. Яким повинен бути коефіцієнт тертя між тілом і диском, щоб тіло не скотилося з диска.

Рис. 5.10

5.1.4. З якою горизонтальною силою слід рухати похилу площину масою з кутом до горизонту, щоб тіло масою , що лежить на ній, не переміщалося відносно похилої площини? Коефіцієнт сили тертя ковзання між тілами .

5.1.5. На клин, рис. 5.10, площина якого складає кут з горизонтом поклали шайбу . Яке прискорення необхідно надати клину в горизонтальному напрямі, щоб шайба вільно падала вертикально вниз? Тертям шайби об клин знехтувати.

5.1.6. Суцільний циліндр скочується без ковзання з похилої площини з кутом до горизонту. Сама похила площина опускається в ліфті з прискоренням . Не враховуючи сил тертя кочення, визначити прискорення осі циліндра відносно похилої площини. Розв’язати задачу в інерціальній та неінерціальній системі координат.

5.1.7. Визначити прискорення вантажів на машині Атвуда. Блок невагомий, нитка нерозтяжна, тертя не враховувати. Маси вантажів і ( ). Розв’язати задачу:

1) в неінерціальній системі координат, пов’язаній з вантажем, що опускається;

2) в неінерціальній системі координат, пов’язаній з вантажем, що піднімається. Порівняти вихідні рівняння руху.

5.1.8. Враховуючи наявність відцентрової сили інерції на Землі, що обертається навколо своєї осі, визначити зміну прискорення сили тяжіння в залежності від географічної широти місцевості. Землю вважати сферою. Радіус Землі прийняти рівним 6400 км. Четвертим степенем кутової швидкості Землі, порівняно з її квадратом, знехтувати.

Рис. 5.11

5.1.9. Добове обертання Землі призводить до відхилення тіл, що падають в напрямку сходу. Визначити, на яку відстань тіло, що вільно падає з висоти на екваторі, відхилиться біля поверхні Землі від земного радіуса, продовженого до початкового положення тіла. Вважати, що сила Коріоліса напрямлена завжди по нормалі до радіуса Землі, проведеного через початкову точку падіння тіла.

5.1.10. Прямий стержень , нахилений під кутом до горизонталі, обертається навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю . По стержню може ковзати маленька втулка . Коефіцієнт тертя ковзання заданий кутом тертя ( ). Визначити відстань від втулки до осі обертання, починаючи з якої втулка буде ковзати вниз, і відстань , починаючи з якої втулка буде ковзати вгору.

5.1.11. Кулька масою прив’язана до мотузки довжиною , другий кінець якої закріплений нерухомо. Мотузку розкрутили до швидкості , потім систему полишили саму на себе. Вважається, що сила тяжіння відсутня і можна знехтувати тертям. Який закон руху кульки?

5.1.12. В багажнику автомобіля знаходиться вантаж масою =42 кг. Автомобіль, що їхав з швидкістю =36 км/год, різко гальмує і зупиняється на відстані = 7 м від місця початку гальмування. Знайти силу , з якою вантаж притискається до передньої стінки багажника при гальмуванні.

5.1.13. Камінь, прив’язаний до мотузки довжиною =50 см, рівномірно обертається у вертикальній площині. Знайти при якій частоті обертання мотузка розірветься, якщо відомо, що вона розривається при навантаженні, рівному десятикратній вазі каменя.

5.1.14. Літак здійснює «мертву петлю» радіусом =500 м і рухається по ній з швидкістю =360 км/год. З якою силою тіло пілота масою =70 кг буде тиснути на сидіння літака у:

1) верхній,

2) нижній;

3) середній точках петлі?

5.1.15. Гирька масою =0,5 кг, прив’язана до гумового шнура довжиною , описує в горизонтальній площині коло. Частота обертання гирьки =2 об/с, кут відхилення шнура від вертикалі =30⁰. Знайти довжину не розтягнутого шнура, якщо для його розтягу на =1 см потрібна сила =6Н.

5.1.16. Камінь, прив’язаний до мотузки довжиною , рівномірно обертається в умовах невагомості. Знайти кутову швидкість обертання каменя, при якій мотузка розірветься, якщо відомо, що вона розривається при натягу з силою .

5.1.17. Камінь масою висить на нерухомому гумовому шнурі. Наскільки коротшим виявиться шнур, якщо відв’язати камінь, при умові, що для видовження шнура на величину потрібна сила .

ІІ РІВЕНЬ

1. Отримати закон вільного падіння тіла на широті в полі тяжіння Землі, враховуючи її обертання.

2. Відносно горизонтально розташованого диска, що обертається з кутовою швидкістю , тіло, яке лежить на диску, знаходиться в стані спокою. Маса тіла дорівнює , відстань від осі обертання .

а) Які сили діють на тіло в нерухомій системі відліку?

б) В якій системі відліку до попередніх сил додається тільки відцентрова сила інерції?

в) В якій системі відліку з’явиться ще й сила Коріоліса?

3. Яку потужність розвиває сила Коріоліса?

4. Яку роботу виконує над частинкою коріолісова сила при переміщенні частинки відносно обертової системи відліку з точки 1 в точку 2?

5. Рух частинки масою =10,0 г розглядається в системі відліку, що обертається відносно інерціальної системи з кутовою швидкістю =10,0 рад/с. Яку роботу виконують над частинкою сили інерції при переміщенні її з точки, що знаходиться на відстані =1,00 м від осі обертання, в точку, що знаходиться на відстані =2,00 м?

6. Є горизонтально розташована рушниця, ствол якої співпадає з віссю вертикального циліндра. Циліндр обертається з кутовою швидкістю , рис. 5.12.

Рис. 5.12

а) Вважаючи, що куля, яка вилетіла з рушниці, летить горизонтально зі сталою швидкістю , знайти зміщення точки циліндра, в яку потрапить куля, відносно точки , яка знаходиться навпроти ствола в момент пострілу. Розв’язати задачу двома методами: в нерухомій системі відліку і в системі відліку, пов’язаної з циліндром.

б) Чи залежить результат від того, обертається рушниця разом з циліндром чи нерухома?

7. На широті =45⁰ з рушниці, закріпленої горизонтально в площині меридіану, здійснено постріл по мішені, розташованій на відстані =100,0 м від ствола рушниці. Центр мішені знаходиться на осі ствола рушниці. Вважаючи, що куля летить горизонтально зі сталою швидкістю =500м/с, визначити, на яку відстань і в який бік відхилиться куля від центра мішені, якщо постріл здійснено в напрямку:

а) на північ;

б) на південь.

8. Електровоз масою =184·10³ кг рухається вздовж меридіана зі швидкістю =20,0м/с (72 км/год.) на широті =45⁰. Визначити горизонтальну складову сили, з якою електровоз тисне на рейки.

9. Горизонтально розташований диск обертається навколо осі, що проходить через його центр, з кутовою швидкістю . По диску рухається рівномірно на однаковій відстані від осі обертання частинка. Знайти миттєве значення:

а) швидкості частинки відносно диска, при якій сила Коріоліса буде врівноважуватись відцентровою силою інерції. Виразити через миттєве значення радіус-вектора , проведеного до частинки з центра диска.

б) швидкості частинки відносно нерухомої системи відліку при тих самих умовах.

10. Горизонтально розташований стержень обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його кінець, з кутовою швидкістю =1,00 рад/с. Відстань від осі до другого кінця стержня =1,00 м. На стержень надіта муфта масою =0,100 кг. Муфта закріплена за допомогою нитки на відстані =0,100 м від осі обертання. В момент =0 нитку перепалюють і муфта починає ковзати по стержню практично без тертя. Знайти:

а) час , за який муфта злетить зі стержня;

б) силу , з якою стержень діє на муфту в момент ;

в) роботу , яка виконується над муфтою за час в нерухомій системі відліку.

11. Горизонтально розташований диск обертається з кутовою швидкістю . Вздовж радіуса диска рухається частинка масою , відстань якої від центра диска змінюється з часом за законом ( - константа). Знайти результуючий момент сил, що діють на частинку в системі відліку, пов’язаної з диском. Мається на увазі момент відносно центра диска.

12. Є система відліку, що обертається відносно інерціальних системи навколо осі з сталою кутовою швидкістю . З точки , що знаходиться на осі , вилітає в перпендикулярному до осі напрямку частинка масою і летить відносно інерціальної системи прямолінійно з постійною швидкістю . Знайти момент імпульсу частинки, що спостерігається в обертовій системі відліку, відносно точки . Показати, що виникнення зумовлене дією сили Коріоліса.