Тема 4 закони збереження

4.1 Основні поняття і співвідношення

Імпульс (кількість руху) матеріальної точки є векторна величина

Імпульс системи матеріальних точок дорівнює (за означенням) векторній сумі імпульсів всіх частинок, що утворюють систему:

Центром інерції системи матеріальних точок називається точка , положення якої в просторі визначається радіус – вектором, з початком в довільній точці , який дорівнює:

де – маса і–тої матеріальної точки, – її радіус – вектор з початком в тій же точці ; – маса всієї системи.

Імпульс системи матеріальних точок дорівнює добутку маси системи на швидкість руху її центру інерції.

Систему взаємодіючих тіл називається замкнутою, якщо на неї зовні не діють тіла. Для такої системи виконуються закон збереження імпульсу: імпульс замкнутої системи є величина стала, тобто

Для випадку 2 – х тіл записують закон збереження імпульсу для абсолютно пружного удару

,

де, і – маси тіл, що взаємодіють, і – їх швидкість до взаємодії, і – після для абсолютного не пружного удару (після взаємодії як єдине ціле):

Робота, що здійснюється силою при елементарному переміщенні :

,

де – елементарний шлях; – кут між векторами ;

Робота змінної сили на шляху :

Зміна повної енергії системи рівна роботі, що виконується зовнішніми силами, прикладеними до системи:

Кінетична енергія тіла, що рухається поступально зі швидкістю :

Потенціальна енергія тіла, піднятого поблизу поверхні землі на висоту :

Потенціальна енергія пружно деформованого тіла

де – коефіцієнт пружності, який визначається відношенням сили пружності до величини пружної деформації.

Закон збереження енергії в механіці: повна механічна енергія замкнутої системи в якій діють тільки консервативні сили, є величина стала, тобто

4.2. Методичні вказівки до розв’язування задач

Як імпульс, так і кінетична енергія тіла залежить від вибору системи відліку і змінюються при переході від однієї системи відліку до іншої. Тому, складаючи рівняння, що виражають закони збереження імпульсу та енергії, необхідно розглядати рух всіх тіл в одній і тій самій інерціальній системі відліку. В більшості випадків, розв’язуючи задачі, користуються тією інерціальною системою відліку, до якої відноситься умова задачі. Це так звана «лабораторна» система відліку, зазвичай пов’язана із землею.

Якщо в умові задачі фігурує відносна швидкість зближення (чи віддалення) двох частинок, що рухаються по прямій в деякий момент часу їх взаємодії, то доцільно розглядати явище в такій інерціальній системі відліку, в якій одна з частинок в цей момент нерухома. Тоді швидкість другої частини буде .

Деколи розв’язок задачі спрощується, якщо вибрати таку систему відліку, яка рухається поступально відносно «лабораторної» з швидкістю центру інерції системи частинок і в якій центр інерції нерухомий. Такою системою відліку користуються в тих випадках, коли необхідно розглядати відносне переміщення частин системи, центр інерції якої рухається відносно «лабораторної» системи відліку.

Властивості системи відліку, пов’язаної з центром інерції:

1) швидкість центра інерції системи частинок в будь – якій інерціальній системі відліку є величина стала

отже, система відліку, пов’язана з центром інерції також є інерціальною;

2) тільки в цій системі виконуються співвідношення :

де – маса швидкість – частинка; – її переміщення, що відповідає переходу з початкового положення в кінцеве, – імпульс системи частинок;

3) тільки в цій системі відліку сумарна кінетична енергія частинок може перетворюватись в нуль у випадку їх відносного спокою.

Рівняння, що виражає закон збереження імпульсу, є векторним. Тому, знаходячи вектор потрібно використовувати правило додавання векторів, або, вибравши осі і , записати закон збереження імпульсу в скалярній формі двома рівняннями:

Якщо імпульси всіх тіл системи напрямлені вздовж однієї прямої, то, вибравши цю пряму за вісь проекції, зразу записують закон збереження імпульсу в скалярній формі

де – сума проекцій імпульсів всіх тіл системи.

Правила розв’язку задач про роботу постійної сили зводяться до наступних:

а) Встановити, роботу якої сили потрібно визначити і записати вихідну формулу , де може бути і рівнодійною, і окремою силою.

б) Виконати рисунок, вказавши на ньому сили, прикладені до тіла.

в) Встановити величину кута між напрямками вектора сили, роботу якої потрібно розрахувати, і напрямком переміщення (швидкості).

г) Якщо сила в умові задачі не задана, її слід знайти з рівняння другого закону динаміки.

д) знайти модуль переміщення (якщо воно невідомо) за формулами кінематики.

Закон збереження енергії пов’язує характеристики початкового і кінцевого стану системи взаємодіючих тіл, тому його використання дозволяє спростити розв’язок багатьох задач і не розглядати сили, що діють між тілами.

Загальну схему розв’язку що вимагають складання рівняння закону збереження енергії, можна представити наступним числом:

а) Виконати схематичний рисунок і записати формулу закону збереження і перетворення енергії.:

б) Встановити перший і другий стан (положення) розглянутого тіла (системи тіл). Ними служать початкове і кінцеве положення тіла, що рухається.

в) Вибрати нульовий рівень відліку потенціальної енергії. Його можна вибрати довільно, але зручніше вибрати або по найнижчому положенню, який займає тіло при своєму русі, або відраховувати від рівня на який опускається тіло, переходячи з першого положення в друге.

Якщо потенціальна енергія тіла чи система тіл при переході з одного стану в другий не змінюється. То при складанні рівняння закону збереження енергії її можна не розглядати.

г) Позначити всі зовнішні сили, що діють на тіло в довільній точці траєкторії, і відмінити кінематичні величини і , що характеризують механічний стан тіла ( системи тіл) в першому і другому положеннях.

д) Скласти вирази для роботи зовнішніх сил і повної механічної енергії тіла (системи) в положеннях I і II – представити роботу як функцію модуля сили і модуль переміщення ( , а енергії і як функції швидкостей і відстаней . Підставити ці вирази у вихідне рівняння закону збереження енергії і знайти з нього ту величину, яка вважається невідомою. Якщо невідомих виявляється більше одного, то до складаного рівняння закону збереження енергії потрібно додати основне рівняння динаміки матеріальної точки рівняння закону збереження імпульсу, або формули кінематики. В результаті одержують систему рівнянь, розв’язок якої дозволить визначити шукану величину.