II 1.1 пример выполнения задания
Рассмотрим цепь, схема которой дана на рисунке II. 1.1.
Рис. II. 1.1.
1. Расчет методом непосредственного применения законов кирхгофа
Для заданной схемы число ветвей m = 5, число узлов n = 3. Обозначим токи во всех ветвях, произвольно выбрав их положительные направления.
Составим по первому закону Кирхгофа уравнения для (n-1) = 2 узлов:
для узла “a”
-
-
= 0
для узла “b”
-
+
= 0.
По второму закону Кирхгофа составим недостающие уравнения в количестве m-(n-1) = 3 для трёх независимых контуров:
+ = ;
+ - = 0;
-
-
-
= -
-
(
+
)
= -
В результате получается система из m = 5 уравнений. Запишем её отдельно, подставив численные значения заданных параметров:
- - = 0;
- + = 0;
8 + 15 = 15;
- 15 + 2 + 10 = 0;
10 + 13 = 5.
2. Расчёт методом контурных токов
Разобьем схему на (m - n+1) = 3 простейших (соприкасающихся) контура и обозначим в каждом из них контурный ток.
Составим для выбранных контуров уравнения по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов:
(
+
)
-
=
;
(
+
+
)
-
-
= 0;
( + + ) - = - .
Подставив численные значения заданных параметров, получим:
23 - 15 = 15;
-15 + 27 - 10 = 0;
-10 + 23 = -5.
Обозначим токи во всех ветвях, произвольно выбрав их положительные направления. После определения контурных токов, определим действительные токи в ветвях из соотношений:
=
;
=
-
;
=
;
=
-
;
= -
.
3. Уравнения в матричной форме
Для расчёта методом непосредственного применения законов Кирхгофа:
Коэффициенты при неизвестных |
Свободный член |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
1 |
0 |
8 |
15 |
0 |
0 |
0 |
15 |
0 |
-15 |
2 |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
13 |
-5 |
Для расчета методом контурных токов:
Коэффициенты при неизвестных |
Свободный член |
||
|
|
|
|
23 |
-15 |
0 |
15 |
-15 |
27 |
-10 |
0 |
0 |
-10 |
23 |
-5 |
4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ТОКОВ НА ЭВМ.
Для n = 3. Решение: +1.04E+00 +5.94E-01 +3.97E-02
т.е. = 1.04; = 0.594; = 0.0397
Значение токов при расчете контурных токов.
Для n = 5. Решение: +1.04E+00 +4.47E-01 +5.91E-01 +5.52E-01 +3.97E-02
или = 1.04; = 0.447; = 0.591; = 0.552; = - 0.0397
Значение токов при расчете методом непосредственного применения законов Кирхгофа.
Полученные результаты сведем в таблицу.
Токи |
|
|
|
|
|
Метод применения законов Кирхгофа |
1.04 |
0.447 |
0.594 |
0.552 |
-0.0397 |
Метод контурных токов |
1.04 |
0.594 |
0.0397 |
|
|
Истинное направление токов в ветвях соответствует положительным значениям токов.