Экономико-математическая модель Канторовича.

В матричной форме записи имеет вид: Y=AX+B 11.2

где Y – вектор-столбец объемов производства;

X – вектор-столбец затрат;

A – матрица размером mxn управляемых коэффициентов;

B – вектор-столбец внешних природных, случайных воздействий.

Особенности:

1. позволяет изучать процессы потребления;

2. строить изоклины;

3. моделирует воздействие рынка.

Модель Леонтьева.

Y=AXK + B 11.3

где Y – объем производства;

X – трудовые ресурсы;

K – капитал.

Особенность: модель позволяет решать задачи распределения ресурсов.

Модель Кобба-Дугласа.

Модель, в основе которой лежит производственная функция, имеющая вид:

 

Y=A * K * X >0, >0 11.4

где A – матрица коэффициентов пропорциональности размерностью mxn;

K – матрица-столбец капитала;

X – вектор-столбец трудовых ресурсов;

, - параметры, выбираемые в условиях ограничений.

Этап модель представляется показательной функцией, носит принципиально не линейный характер, отражающий не линейные связи.эта не линейная функция (7.4) может быть линеаризирована путем логарифмирования и тогда она будет иметь вид:

Ln y = ln a + *ln k + *ln x 11.5

Выражение (7.5) всегда будет иметь участок, близкий к линейному, который дает неизменный эффект масштаба, при котором +=1.

Модель К-Д нашла широчайшее применение при решении экономических задач в современных условиях. Особенностью этой модели является ее простота представления, т.к. имеют место однозначные решения при условии отсутствия воздействия случайных сил, внешних на параметры  и . Решения, получаемые в результате моделирования, оцениваются по параметрам a, ,  методом линейной регрессии, как правило, по критерию наименьших квадратов.

Последние годы начали использовать модифицированные экономико-математическую модель К-Д имеющую вид:

 (1-) t

Y= A * K * X * e (11.6)

где  - темп роста (техн. прогресса) качественного показателя товара во времени.

Все 3 модели имеют компьютерное выражение в виде программ, обеспечивающих ЛПР качественными оценками.

Методы экономико-математического моделирования в условиях полной информации об управляемом объекте подразделяются:

1. метод линейной регрессии;

2. графоаналитический метод;

3. методы линейного програмирования:

• симплексный метод;

• метод обратной матрицы;

4. методы не линейного программирования;

5. методы динамического программирования.

Рассмотрим метод линейной регрессии.

Используется в случае необходимости отыскания коэффициентов нелинейной производ. функции (типа К-Д) и часто для выбора функции потребления. Регрессионное уравнение имеет вид:

Y=  + х + U 118.7)

Выражение 8.7 - это линейная регрессионная модель, в которой:

х – объясняющая (независимая) переменная;

Y – объясняющая (зависимая) переменная;

U – остаток (ошибка), равный разнице между фактическим значением и значением модели; случайная независимая переменная;

,  - параметры, требующие определения на условиях ограничения.

Система уравнений 8.7 называется системой нормальных уравнений, решение которых относительно  и , имеют вид:

_ _

 (хi – х )(yi – y)

 = ----------------------

(x – x) 2 i=(1,р) (11.8)

_ _

 = у - х (11.9)

_

где х = хi/р – арифметическое среднее; _

у = уi/р – среднее значение переменных.

Точку на прямой регрессии, полученную по МНК, которая соответствует фактическому значению объясняющей переменой xi называется, рассчетным или теоритическим значением yi, соответствующим xi и имеющему вид:



yi =  + xi (11.10)

Разность фактического и рассчетного значения Ui



Ui = yi – yi (11.11)

есть остаток – расчетное значение случайной ошибки, не подлежащей наблюдению, полученной по МНК.

Примечание. РУР в этом случае называют систему методов оценки параметров коэффициентов  и  на основе имеющихся наблюдений x и y.

МНК называют процедуру выбора таких значений параметров  и , которые при подстановке р-пар значений переменных в выражение 8.7 минимизируют сумму регрессионных остатков имеющих вид:

p 2 p 2

S =  Ui =  [ yi – (  + xi) ]  min (11.12)

i=1 i=1

Дифференцируя S в (8.12) по  и  и положив значения частных коэффициентов равными 0, получим систему уравнений:

 S p

= -2  ( yi –  - xi) = 0

 i=1 (11.13)

S p

= - 2  xi ( yi –  - xi) =0

 i=1

Степень приближения к экстремуму (адекватность регрессионной модели к реальному объекту) характеризуется коэффициентом детерминации.

2 p _ 2 p _ 2

R =  ( yi – yi ) /  ( yi – yi ) (11.14)

i=1 i=1

Положительное значение корня из коэффициента детерминации (8.14) называется коэффициентом корреляции.