Метод эквивалентного генератора

Для определения тока в одной (или нескольких) из ветвей сложной электрической цепи целесообразно использовать метод эквивалентного ге­нератора. Этот метод основан на теореме об активном двухполюснике: ток в некоторой заданной ветви не изменится, если активную цепь, к которой подключена эта ветвь, заменить источником энергии, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, а его (источ­ника) внутреннее сопротивление равно сопротивлению пассивной цепи от­носительно зажимов искомой ветви (рис. 12).

34

Если эквивалентный генератор представляется источником ЭДС, ток в заданной ветви определяется по закону Ома (рис. 12,6):

.

Если эквивалентный генератор представляется источником тока, ток в заданной ветви находится по правилу "чужого сопротивления" (рис. 12,в):

.

В формулах U_х - напряжение холостого хода активного двухполюс­ника на зажимах ветви, в которой определяется ток; I_к - ток коротко­го замыкания активного двухполюсника при закороченной заданной ветви; R_вх - входное сопротивление пассивного двухполюсника, найденное относительно зажимов заданной ветви; R - сопротивление заданной ветви.

Выбор схемы замещения эквивалентного генератора определяется схе­мой цепи, в которой рассчитывается ток.

Если в заданной ветви, кроме резистора, есть источник ЭДС и для расчета используется последовательная схема замещения эквивалентного генератора (рис. 12,6), ток можно определить из выражения

.

35

ЭДС Е учитывается с положительным (отрицательным) знаком, если напряжение U_х и ЭДС Е совпадают (противоположны) по направлению.

Определение тока в заданной ветви электрической цепи методом эк­вивалентного генератора удобно производить в следующей последовательности.

1. Разомкнуть (закоротить) заданную ветвь с искомым током.

2. Определить напряжение холостого хода /ток короткого замыкания/активного двухполюсника относительно заданной ветви.

3. Исключая из активного двухполюсника все источники энергии, определить входное сопротивление двухполюсника относительно зажимов заданной ветви. При исключении источников в схеме должны быть сохранены их внутренние сопротивления.

4. Используя закон Ома (правило "чужого сопротивления"), найти ток в заданной ветви. Направление тока определяется направлением напряжения холостого хода /тока короткого замыкания"/.

Пример 8. В цепи, схема которой изображена на рис. 2, определить ток I₁ методом эквивалентного генератора ЭДС (напряжения).

После исключения ветви с ЭДС Е1 и резистором R1 получаем схему, изображенную на (рис. 13,а). В исходной цепи ток I₁ направлен от узла 3 к узлу 1, такое же направление выбрано и для напряжения холостого хода U_1x.

36

Для расчета напряжения холостого хода U_1x сначала нужно найти ток I_2х в ветви с резисторами R2 и R4; удобнее всего это сделать методом узловых потенциалов.

Положим потенциал узла 4 равным нулю, тогда потенциал узла 2

, .

Для узла 1 составим уравнение методом узловых потенциалов:

, где ,

.

Подставляя подученные значения в расчётное уравнение, имеем

0,0567φ₁-200*0,04 = 5

откуда

φ_{1=229 В.}

37

Ток в ветви о резисторами R2 и R4

.

Напряжение холостого хода находится по второму закону Кирхгофа:

Схема для определения входного сопротивления пассивного двухпо­люсника изображена на рис. 13,6. В месте включения идеального источни­ка ЗДС Е6 поставлена закоротка, в месте включения идеального источни­ка тока J цепь разомкнута. Резистор R5 из схемы исключен, так как он закорочен шестой ветвью. Входное сопротивление относительно задан­ной ветви

.

Искомый ток I₁ определяется по схеме с эквивалентным генератором

напряжения (рис. 12,6). ЭДС E₁ учитывается со знаком "+", так как ее направление совпадает с направлением тока I₁ , а значит и с направле­нием напряжения холостого хода:

.

Пример 9. В цепи, схема которой изображена на рис. 2, определить ток I₂ методом эквивалентного генератора тока.

38

Закорачиваем в исходной схеме ветвь с резистором; получаем схему, изображенную на (рис. 14,а). В исходной цепи ток I₂ направлен от узла 1 к узлу 3, такое же направление выбрано и для тока короткого замыкания I_2k. Этот ток в схеме (рис. 13,6) можно найти, например, методом наложения:

.

Схема для определения входного сопротивления пассивного двухпо­люсника, изображена на (рис. 14,6). В месте включения идеальных источни­ков ЭДС Е1 и Е6 поставлены закоротки, в месте включения идеального источника тока J цепь разомкнута. Резистор R5 из схемы исключен, так как он закорочен шестой ветвью. Входное сопротивление относительно за­данной ветви

Искомый ток I₂ определяется по схеме с эквивалентным генератором тока (рис. 12,в):

.

39

Рис. 14

Пример 10. В цепи, схема которой изображена на (рис. 2), определить ток I₄ методом эквивалентного генератора напряжения.

Размыкаем в исходной схеме ветвь с резистором R4; получаем схему, изображенную на (рис. 15,а). В исходной цепи ток I₄ направлен от узла 4 к узлу 3, такое же направление выбрано и для напряжения холостого хо­да U_4x

Рис. 15

Размыкание заданной ветви существенно упрощает схему: ток I_2x

определяется только источником ЭДС E4 и не зависит от других источников энергии, ток I_3x равен току источника тока J в силу принципа не­ прерывности электрического тока:

, .

40

Напряжение холостого хода находится по второму закону Кирхгофа:

.

Схема для определения входного сопротивления пассивного двухпо­люсника изображена на (рис. 15,6). В месте включения идеальных источни­ков ЭДС E1 и E6 поставлены закоротки, а в месте включения идеального источника тока J цепь разомкнута. Резистор R5 из схемы исключен, так как он закорочен шестой ветвью. Входное сопротивление относитель­но заданной ветви

Искомый ток I₄ определяется по схеме с эквивалентным генератором напряжения (рис. 12,6):

МЕТОД НЕНАПРАВЛЕННЫХ ГРАФОВ

В методе ненаправленных графов за основу принимается информация о так называемом графе цепи, выраженная в виде остова заданной цепи, на котором показаны только узлы и ветви цепи. Определяется передаточ­ный коэффициент (передача) между входным воздействием (источником энергии) и искомой реакцией (током или напряжением).

Передача определяется по топологической формуле

41

где Т - передача цепи, т.е. любая передаточная функция цепи (вход­ные и взаимные сопротивления и проводимости, коэффициент передачи по току и напряжению); ∆ - узловой определитель графа цепи, найденный с помощью разлояения по путям между двумя произвольно выбранными узла­ми; П’_к - к-ый путь передачи, равный произведению проводимое тек вет­вей, входящих в данный путь; всегда начинается на положительном зажи­ме источника и заканчивается на отрицательном его зажиме, должен вклю­чать в себя ветвь с искомой реакцией и не проходить по ветви с источ­ником; ∆’_к - определитель к-го пути передачи графа; определяется из графа, полученного при закорачивании этого пути передачи в исходном графе; П_к,∆_к - соответственно к-ый путь и его определитель, получен­ный на основании исходного графа с закороченным к-ым путем.

Если искомой реакцией является ток, в ветвь этого тока включают амперметр с единичной проводимостью; если искомой реакцией является напряжение ветви, параллельно этой ветви включают вольтметр с единичной проводимостью. При наличии в схеме идеального источника ЭДС зако­рачивают узлы, к которым подключен этот источник; ветвь с идеальным источником тока в граф цепи не входит.

Топологический метод применим только для цепей с одним источни­ком энергии. Если цепь содержит несколько источников, для расчета ис­пользуется принцип наложения.

Пример 11. Определить передачу в мостовой цепи (рис. 16,а) от источника напряжения, подключенного к

42

узлам 1 и 3, к току I₄ в ветви с проводимостью G₄ . Положительное направление этого тока (и положи­тельное направление вдоль этой ветви) совпадает с заданным направлени­ем напряжения источника.

Граф цепи показан на (рис. 16,6). В цепи два пути передачи от уз­лов 1 и 3 источника к ветви G₄ Первый путь передачи проходит по ветви G₃ . При закорачивании этого пути передачи узлы 1, 3 и 4 соеди­няются вместе, образуя с узлом 2 одну ветвь, состоящую из параллельно соединенных проводимостей G₁ , G₂ и G_s (рис. 16,в). Следовательно,

, .

Второй путь передачи проходит по ветвям G₁ и G_s. При закорачи­вании этого пути передачи все четыре узла объединяются (рис. 16,г). Следовательно,

, .

43

Пути П₁ и П₂ , а также их определители ∆₁ и ∆₂ находятся для пары узлов 2 и 4, узлы 1 и 3 источника должны быть закорочены. Тогда соединяются параллельно ветви G₁ и G₂ , а также G₃ и G₄ (рис. 17,а).

Первый путь от узла 2 к узлу 4 проходит последовательно по этим двум параллельным разветвлениям; при закорачивании этого пути все че­тыре узла объединяются (рис. 17,6). Следовательно,

; .

Второй путь от узла 2 к узлу 4 проходит по ветви G₅ при зако­рачивании этого пути все остальные ветви оказываются соединенными па­раллельно (рис. 17,в). Следовательно,

,

В результате передача (взаимная проводимость)

44

Если, например, напряжение источника U = 100 В, ток в четвертой ветви

Пример 12. Определить топологическим методом ток I₆ в цепи, изоб­раженной на (рис. 18,а). Положительное направление тока показано на ри­сунке.

Граф цепи изображен на (рис. 18,6). Ветвь с идеальным источником то­ка в граф цепи не входит (G₃ = 0), искомая ветвь стянута в точку (уз­лы 2 и 4 слиты в один).

45

Главный определитель графа определяют по путям между двумя произ­вольно выбранными узлами 1 и 2. Определители путей находят для графов с соответственно закороченными путями (рис. 19):

, , (рис. 19, а);

, , (рис. 19, б);

, , (рис. 19, в);

, (рис. 19, г).

(Определитель пути равен единице, если этот путь проходит по всем узлам графа.)

Главный определитель графа

Для определения путей передачи и их определителей используют граф, изображенный на (рис. 20), а заданная ветвь учитывается единичной прово­димостью.

46

Первый путь передачи проходит по ветви G₁ ; при закорачивании этого пути передачи узлы 1, 2 и 4 объединяются вместе, образуя парал­лельное соединение ветвей G₂ , G₄ и G₃ (рис. 20,6):

; .

Второй путь передачи проходит по ветвям G_s и G₂; при закорачи­вании этого пути передачи все четыре узла объединяются (рис. 20,в), следовательно,

; .

Оба пути передачи проходят через заданную ветвь в том же направ­лении, что и ток I₆ , поэтому произведения путей передачи на их опре­делители в формуле передачи должны быть учтены с положительным знаком:

47

Искомый ток I₆ = TJ = 0,36 • 5 = 1,8 А.

Аналогичным образом могут быть найдены и напряжения в заданных ветвях; передача при этом имеет размерность сопротивления.

МЕТОД СИГНАЛЬНЫХ (НАПРАВЛЕННЫХ) ГРАФОВ

Сигнальным графом (направленным графом, графом уравнения) называ­ется совокупность узлов и соединяющих их ветвей, имеющих направление, указываемое стрелкой. В отличие от ненаправленного графа, сигнальный граф представляет собой геометрический образ системы линейных алгебра­ических уравнений, описывающих электрическое состояние цепи, иными словами, сигнальный граф не повторяет электрическую цепь, а представ­ляет собой графическое изображение уравнений, связывающих величины, характеризующие эту цепь.

Узел графа, к которому подключена одна уходящая ветвь, характери­зуется входным сигналом - свободным членом системы уравнений (заданным напряжением или током), узел с одной входящей ветвью - выходным сигна­лом, т.е. искомой величиной, остальные узлы - другими неизвестными ве­личинами, которые должны быть исключены в процессе решения задачи.

Каждая ветвь характеризуется передачей, являющейся функцией коэф­фициентов уравнений и равной отношению сигналов выходного (по направ­лению ветви) узла к входному. К узлам графа может подходить и уходить по нескольку ветвей; сигнал узла равен сумме сигналов, приходящих к этому узлу (уходящие сигналы не учитываются).

Граф цепи позволяет по заданному входному сигналу (напряжению или току источника энергии) найти выходной сигнал (ток или напряжение приемника). Эта задача может быть решена или последовательным упрощением графа, или

48

применением общего выражения для передачи сигнала (формула Мезона). При упрощении исходный граф преобразуется в эквивалентный с одной ветвью, непосредственно связывающей входной и выходной узлы. Сигнальный граф цепи может быть построен по системе расчетных уравне­ний, составленных для заданной цепи методом контурных токов или узловых потенциалов. Однако преимущества использования сигнальных графов для расчета электрических цепей сказываются в полной мере лишь тогда, когда граф строится сразу по схеме цепи без составления и преобразо­вания уравнений.

В случае построения графа контурных уравнений необходимо задаться положительными направлениями контурных токов, выбирая в качестве кон­туров ячейки, на которые разбита цепь; положительные направления кон­турных токов цепи принимаются одинаковыми (например, по часовой стрел­ке). Количество узлов будущего графа определяется количеством неиз­вестных контурных токов и количеством источников энергии в исходной цепи. Далее поступают следующим образом.

1. На поле графа располагают узлы, соответствующие искомым переменным и источникам схемы.

2. Узлы-переменные (контурные токи) соединяются двумя параллельными противоположно направленными ветвями, причем, если ветвь направ­лена от узла j к узлу i , то передача этой ветви принимается равной –R_ij/R_ii

3. Источники ЭДС схемы соединяются с узлами-переменными, направ­ление передачи всегда от источника к соответствующему узлу - переменной, т.е. к тому току, в контуре которого находится данная ЭДС. Передача ветви, соединяющая источник ЭДС, с i-м контурным током численно равна +(-)1/R_ii. Знак "+" берется в случае, если i-й контурный ток совпадает по направлению с данной ЭДС.

49

4. Источники тока схемы соединяются с теми узлами-переменными, в контуре которых находятся сопротивления, включенные параллельно са­мим источникам тока; передачи этих ветвей численно равны +(-)R_k/R_ii (здесь под R_k понимается сопротивление резистора, включенного па­раллельно данному к-му источнику тока и входящего в i-й контур). Знаменатель R_ii означает, что данный источник тока соединен с i-м

узлом, т.е. с i-м контурным током. Знак «+» отношения R_k/R_ii при­нимается в случае, если эквивалентная ЭДС к -го источника тока на­правлена согласно с i-м контурным током.

Пример 13. Построить граф контурных уравнений для цепи, схема ко­торой изображена на (рис. 21,а).

Для большего удобства построения графа необходимо видоизменить схему так, чтобы каждому источнику тока соответствовал параллельно включений резистор /рис.21,б/.

Задаемся положительными на­правлениями контурных токов I₁₁ и I₂₂ по часовой стрелке. Граф будет со­держать шесть узлов, четыре из которых принадлежат источникам энер­гии.

Контурные сопротивления:

;

.

Взаимное сопротивление контуров

.

Сигнальный граф для цепи (рис. 21,а) изображен на (рис. 21,в).

50

В случае построения графа узловых уравнений в качестве узлов-пе­ременных принимаются потенциалы узловых точек цепи, причем их количе­ство на единицу меньше числа узлов цепи. Если в схеме действует иде­альный источник ЭДС, необходимо предварительно произвести преобразование цепи, например перенести источник через узел.

Общее количество узлов графа равно количеству узлов-источников и узлов-переменных. Далее поступают следующим образом.

1. Располагая узлы на поле графа, соединяют их между собой, при­чем узлы-переменные соединяются двумя параллельными противоположно направленными ветвями, а узлы-истоки соединяются одиночными ветвями с те­ми узлами-переменными, между которыми включен данный источник в элект­рической цепи. Если ветвь направлена от j-го узла-переменной к i-му узлу-переменной, передача ветви равна -G_ij/G_ii/

51

2. Передача ветви, соединяющей источник ЭДС Е_к с i-ом узлом-переменной, равна +(-)G_k/G_ii ( G_к- проводимость ветви с ЭДС E_к ). Знак "+" принимается в случае, когда ЭДС E_к направлена к i-му узлу.

3. При соединении источника тока J_K с i-му узлом-переменной в граф вводится ветвь с передачей +(-)1/G_ii , причем знак "+" берется тог­да, когда ток J_K направлен к i-му узлу.

Пример 14.Построить граф узловых уравнений для цепи, схема кото­рой изображена на рис. 22,а. Используя формулу Мезона, определить ток J₅ в ветви с резистором R₅ ЭДС E₅. Положительное направление тока показано на рисунке.

52

Рис. 22

Учитывая приведенные рекомендации, строим сигнальный граф цепи (рис.22,6). Узловые и межузловые проводимости:

;

.

53

Поскольку решение графа с помощью топологической формулы Мезона предполагает наличие только одного источника энергии, преобразуем не­сколько истоков в один эквивалентный; при этом в графе появляются вет­ви между Е6 и J , между Е1 и J , а также между Е5 и J. Передачи этих ветвей соответственно равны:

; ;

.

В результате такого преобразования истоком графа является только узел J , остальные истоки графа превратились в зависимые (смешанные) узлы. Передачи остальных ветвей вычисляются согласно известным прави­лам и обозначаются на графе (см. рис. 22,6).

Нахождение определителя графа топологическим методом осуществля­ется по формуле

,

где ∑L_i - сумма величин всех контуров графа без исключения;

∑L_i-L_j — сумма произведений величин контуров графа, взятых попарно и не сопри­касающихся между собой;

∑L_iL_jL_k.- сумма произведений величин контуров графа, взятых по три и не соприкасающихся между собой и т.д.

В графе (рис. 22,6) есть только один контур, величина которого

54

(Напомним, что контур сигнального графа должен замыкаться по ветвям одного направления.) Таким образом, узловой определитель сигнального графа

.

Остальные слагаемые топологической формулы определителя равны ну­лю, так как отсутствуют пары, тройки и другие комбинации несоприкасаю­щихся контуров.

Формула Мезона для передачи узлового графа между истоком и стоком

где П_к - величина к-го пути графа между заданным истоком и искомой величиной стока;

∆_к - определитель к-го пути; вычисляется по топо­логической формуле разложения определителя с учетом дополнительного условия: все контуры в выражениях

, , .

и т.д. не должны соприкасаться с данным к-м путем (об этом напоминает "звез­дочка" в числителе формулы передачи).

Искомой величиной (стоком графа) является ток I₅ в ветви с ре­зистором R5 и ЭДС Е5. Передачи ветвей, подходящих к стоку, определя­ются из уравнения:

.

55

Величины путей графа и их определителей:

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

После подстановки в топологическую формулу передачи и необходи­мых алгебраических преобразований имеем:

Ток в заданной ветви

I₅=TJ = -0,1554*15 = -2,33 А.

Знак "-" указывает, что истинное направление тока противоположно выбранному на рис. 22,а.

56

Полученное выражение для передачи можно использовать для анализа влияния параметров цепи на силу тока в заданной ветви, для оптимиза­ции режима работы цепи по заданным условиям. Аналогично могут быть найдены передачи (коэффициенты по току и напряжению) для других вет­вей цепи.

Далее приводятся условия задания на расчет сложной линейной элек­трической цепи постоянного тока и данные вариантов этого задания.