Потенциальная диаграмма

По результатам расчета электрической цепи для любого ее контура (ветви) можно построить потенциальную диаграмму - график распределений потенциала в контуре (ветви). По оси абсцисс в выбранном масштабе от­кладываются сопротивления резисторов контура (ветви) в том порядке, в каком они расположены в контуре (ветви), а по оси ординат - потенци­алы соответствующих точек контура (ветви). Построение диаграммы можно начинать с любой точки контура, приравняв ее потенциал произвольной

величине (например, нулю). Направление обхода контура (ветви) выби­рается произвольно.

Пример 3. Построим потенциальную диаграмму для внешнего контура электрической цепи, схема которой изображена на рис. 2. При построении диаграммы используем значения токов, рассчитанные в примере 2. Обход контура выбираем по часовой стрелке.

Приравняем потенциал точки 4 нулю. Потенциал точки 3 определяется из следующих соображений: при движении от точки 4 к точке 3 направле­ние обхода контура совпадает с направлением тока I₄ , а так как ток в

ветви течет от большего потенциала к меньшему, потенциал точки 3 будет ниже потенциала точки 4 на величину падения напряжения на резисторе R4, следовательно

16

, .

В результате расчета потенциал точки 3 оказался выше потенциала точки 4, так как выбранное на схеме направление тока I₄ противополож­но его истинному направлению.

Аналогично определим потенциал точки 5:

Потенциал точки I выше потенциала точки 5 на величину ЭДС E1, так как направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС (пере­ход от отрицательного зажима источника ЭДС к его положительному зажи­му), следовательно

.

Аналогичным образом определяются потенциалы точек 2 и 4:

;

.

Расчет потенциала точки 4 выполнен для проверки вычислений. Сум­марное сопротивление резисторов контура

R1+ R2+ R4 = 10 + 25 + 40 = 75 Ом.

Зная максимальное и минимальное значения потенциалов точек и сум­марное сопротивление резисторов контура, можно выбрать масштабы для потенциалов и сопротивления, а затем построить потенциальную диаграмму (рис. 3).

По потенциальной диаграмме можно определить потенциал

17

любой точки контура, эквипотенциальные точки контура, а также разность потенциалов (напряжение) между любыми точками контура. Для определения напря­жения заданные точки проецируются на ось ординат; умножив отрезок между проекциями точек на масштаб по напряжению, получим разность по­тенциалов.

По диаграмме можно определить величину и направление тока на лю­бом участке контура. Ток пропорционален тангенсу угла наклона к оси абсцисс отрезка диаграммы, соответствующего рассматриваемому участку. Направление тока определяется знаком угла наклона; угол, отсчитывае­мый по часовой стрелке, считается положительным.

18

Эквивалентные преобразования электрических цепей

Расчет сложных электрических цепей во многих случаях можно значи­тельно упростить и сделать более наглядным путем преобразования схем одного вида в схемы другого вида. Целесообразное преобразование схемы приводит к, уменьшению числа ее ветвей или узлов, а значит и числа уравнений, необходимых для расчета. Во всех случаях такое преобразование должно выполняться эквивалентно: токи и напряжения в час­тях цепи, не затронутых преобразованием, остаются такими же, как и в исходной цепи.

Примеры эквивалентного преобразования: замена нескольких последо­вательно или параллельно соединенных резисторов одним, преобразование треугольника резисторов в звезду и наоборот, замена параллельных вет­вей с источниками энергии одной ветвью, взаимное преобразование источ­ников электрической энергии, перенос источников энергии и т.д. Рас­смотрим расчетные соотношения и применение некоторых эквивалентных преобразований.

Преобразование треугольника резисторов в звезду и наоборот

В узлах 1, 2 и 3 треугольник и звезда резисторов соединяются с остальной частью цепи (рис. 4). Расчетные зависимости имеют цикличе­скую форму, т.е. получаются одно из другого перестановкой индексов, элементов.

19

При переходе от треугольника к звезде сопротивление луча звез­ды равно произведению сопротивле­ний двух ветвей треугольника, при­мыкающих к этому лучу, деленному на сумму сопротивлений всех вет­вей треугольника:

; ; .

При переходе от звезды к треугольнику сопротивление ветви тре­угольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и их про­изведения, деленного на сопротивление третьего луча звезды:

; ; .

Пример 4. Упростить схему электрической цепи (рис. 5), применяя преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник.

20

Преобразуем треугольник резисторов R3, R4, R5 в эквивалентную звезду (рис. 5,6) и звезду резисторов R2, R3, R4 в эквивалентный треугольник (рис. 5,в):

;

R₁₀=R₄R₅/(R₃+R₄+R₅)=25·35/(15+25+35)=11,67 Ом

R₁₁=R₃R₅/(R₃+R₄+R₅)=15·35/(15+25+35)=7 Ом

R₁₃=R₂+R₃+R₂R₃/R₄ =10+15+10·15/25= 31 Ом

R₁₄=R₂+R₄+R₂R₄/R₃ =10+25+10·25/15= 51,7 Ом

R₁₅=R₃+R₄+R₃R₄/R₂ =15+25+15·25/10= 77,5 Ом

Схему рис. 5,в можно упростить, заменив резисторы R5 и R15 резистором с эквивалентным сопротивлением

R₁₂=R₅R₁₅/(R₅+R₁₅)

21

Преобразование параллельных ветвей с источниками энергии

Параллельное соединение ветвей с источниками энергии можно заме­нить эквивалентным участком, представляющим собой либо последователь­ное соединение идеальной ЭДС и резистора, либо параллельное соедине­ние идеального источника тока и резистора; направление этих источни­ков задается произвольно. Параметры эквивалентного участка

; ; .

В выражениях для E_э и I_э обе суммы являются алгебраическими. В первой сумме - совокупность произведений ЭДС и проводимостей ветвей; со знаком "+" ("-") учитываются слагаемые, направление ЭДС которых совпадает (противоположно) с направлением эквивалентного источника от­носительно рассматриваемых узлов. Во второй сумме со знаком "+" ("-") учитываются те источники тока, направление которых совпадает (проти­воположно) с направлением эквивалентного источника относительно рас­сматриваемых узлов. Эквивалентное сопротивление R_э является обратной величиной суммарной проводимости параллельно соединенных ветвей в ис­ходной цепи.

Рассмотрим некоторые частные случаи преобразования ветвей с ис­точниками энергии. Если в параллельных ветвях отсутствуют источники энергии, эквивалентная ЭДС (источник тока) равна нулю.

22

Если в преобразуемом параллельном соединении есть ветвь, содержа­щая только идеальный источник ЭДС, то искомая эквивалентная ЭДС равна идеальной и имеет такое же направление; эквивалентное сопротивление при этом равно нулю.

Если в состав параллельного соединения входят только идеальные источники тока, это соединение можно заменить только эквивалентным источником тока, величина которого равна алгебраической сумме токов источников; эквивалентное сопротивление при этом бесконечно велико.

Как видно из приведенных расчетных выражений, последовательное соединение идеального источника ЭДС и резистора можно заменить парал­лельным соединением идеального источника тока и резистора (и наоборот);

, .

Идеальные источники ЭДС и тока взаимно преобразовать нельзя.

Пример 5. в схеме электрической цепи (рис. 5,в) преобразовать па­раллельное соединение между узлами 1 и 3 в эквивалентный источник то­ка, а параллельное соединение между узлами 3 и 5 - в эквивалентный ис­точник ЭДС (рис. 6).

Рис. 6

23

Аналогичным образом участок меж­ду узлами 1 и 3 (рис. 6) можно заменить эквивалентным последователь­ным соединением ЭДС E16 и резистора R16

E₁₆ = J₂R₁₆ = 4,29*16,44 = 70,5 В.

Перенос источников ЭДС

В ряде случаев расчет цепи облегчается в результате переноса в схеме источников ЭДС. Например, если в какой-либо ветви требуется ис­ключить источник ЭДС, в эту ветвь вводится компенсирующая ЭДС (равная по величине заданной, но имеющая противоположное направление). Точно такие же ЭДС вводятся во все ветви, сходящиеся в один из узлов, между которыми включена компенсируемая ЭДС; эти ЭДС должны иметь по отноше­нию к узлу такое же направление, как и компенсирующая ЭДС.

Пример 6. Исключить ЭДС Е8 в цепи, изображенной на рис. 6.

В каждую из ветвей, присоединенных к узлу 5, включим ЭДС, равные по значению Е8 и направленные к узлу 5. Тогда между узлами 1 и 5 в ветви имеются две равные по величине и противоположно направленные ЭДС; эквивалентная ЭДС в этой ветви, таким образом, равна нулю (рис. 7,а). Узлы 1 и 5 имеют одинаковый потенциал и могут быть объединены. Таким образом, удалось уменьшить на один количество узлов цепи и тем самым упростить ее (рис. 7,6). Эквивалентные ЭДС в ветвях с резисторами R6 и R7 определяются алгебраической суммой ЭДС ветви и вносимой ЭДС:

E_6э = E₈ –E₆ = 200 – 100 = 100 В.

E_7э = E₇ –E₈ = 600 – 200 = 400 В.

24

МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Для определения любых физических величин, связанных между собой линейной зависимостью, можно применить известный из курса физики принцип наложения. В линейных электрических цепях на основании этого принципа определяют токи и напряжения на элементах цепи: ток (напряже­ние) на любом участке линейной электрической цепи, содержащей несколь­ко источников электрической энергии, равен алгебраической сумме токов (напряжений), действующих на этом участке от каждого источника энергии в отдельности.

На принципе наложения основан метод наложения. При расчете цепи этим методом поступают следующим образом.

1. Поочередно оставляют в цепи один из источников энергии, остальные исключают, оставляя на их месте их внутренние сопротивления. В месте подключения идеального источника ЭДС (R₀=0) ставят закоротку, в месте подключения идеального источника тока (R₀→∞) оставляют раз­рыв.

2. В полученной схеме с одним источником энергии определяют то­ки (напряжения) всех ветвей. Аналогичный расчет проводится при действии каждого из источников энергии.

25

3. Токи (напряжения) в исходной цепи находят путем алгебраическо­го суммирования частичных токов (напряжений). Со знаком "+" ("-") учи­тывают составляющие, совпадающие (не совпадающие) с принятым на исходной схеме положительным направлением соответствующего тока (напряжения).

Проверку расчета целесообразно проводить в каждой из частичных схем по законам Кирхгофа, в исходной цепи - по балансу мощностей. Сле­дует помнить, что при вычислении электрической мощности в резисторах принцип наложения не применим, так как эта мощность является квадра­тичной функцией тока (напряжения).

Метод наложения для расчета электрической цепи целесообразно при­менять в тех случаях, когда в результате поочередного исключения ис­точников энергии цепь становится простой (комбинацией последовательно­го и параллельного соединения резисторов), а число источников энергии не превышает 2-4.

Пример 7. Определить методом наложения токи и напряжения в цепи, схема которой изображена на рис. 8. Положительные направления токов в ветвях показаны на рисунке, положительные направления напряжений совпадают с направлениями одноименных токов.

26

Исключаем из схемы источник ЭДС Е6 и источник тока J. В цепи (рис. 9) действует источник ЭДС E1 . В месте подключения идеального источника ЭДС Е6 (R₀ =0) необходимо включить закоротку, в месте подключения идеального источника тока J (R_о→∞) должен быть разрыв цепи. В результате частичная схема рис. 9 представляет собой последовательно-параллельное соединение резисторов, направления токов в ветвях однозначно определяются направлением ЭДС Е1, а сами токи и напряжения на резисто­рах могут быть найдены методами расчета простых цепей.

Рис. 9

Эквивалетное сопротивление цепи относительно зажимов источника ЭДС Е1

.

Ток источника и напряжения на резисторах определяются по закону Ома, токи в ветвях удобно определять по правилу "чужого сопротивления"

;

27

;

;

; ;

; .

Ток и напряжение в ветви с резистором R5 равны нулю, так как этот резистор закорочен шестой ветвью, по той же причине токи в треть­ей, четвертой и шестой ветвях равны между собой.

Проверка расчета по законам Кирхгофа:

; 4,19 = 2,9 + 1,29; .

; 100 = 58 + 41,9; .

; 0 = 58 – 51,6 – 6,45; .

2. Исключаем из схемы источник ЭДС Е1 и источник тока J. В це­пи (рис. 10) действует источник ЭДС Е6. В месте подключения идеально­го источника ЭДС Е1(R₀ =0)необхо­димо включить закоротку, в месте под­ключения идеального источника тока J (R_о→∞) должен быть разрыв цепи. В результате частичная схема рис. 10 представляет собой последовательно-параллельное соединение резисторов, направления токов в ветвях однозначно определяются направлением ЭДС Е6, а сами токи и напряжения на резисторах могут быть найдены методами расчета простых цепей.

28

Воспользуемся методом пропорционального пересчета. Задаемся то­ком в ветви с резистором R1, равным I'₁₍₂₎=I А. Напряжение на резис­торах R1 и R2 при этом.

.

Ток в резисторе R2 I’₂₍₂ = U’₂₍₂₎/R2 = 10/20 = 0.5 А. Токи в ре­зисторах R3 и R4 равны между coбой по принципу непрерывности элект­рического тока и могут быть найдены по первому закону Кирхгофа:

.

Напряжения на этих резисторах определяются по закону Ома, а необ­ходимая величина ЭДС источника - по второму закону Кирхгофа:

; ;

.

29

Коэффициент пропорциональности между истинными и заданными значе­ниями токов и напряжений.

.

Искомые токи и напряжения в цепи (см. рис. 10):

; ;

; ;

; ;

; .

Резистор R5 включен непосредственно на зажимы идеального источни­ка ЭДС E6, поэтому

; .

Ток в источнике определяется по первому закону Кирхгофа:

.

Проверим расчет по балансу мощностей (законы Кирхгофа использова­лись при нахождении токов):

30

200 · 11,87 = 2,58² · 10 + 1,29² · 20 + 3,87² (40 + 5) + 8² · 25

3. Исключаем из схемы источники ЭДС E1 и E6. В цепи (рис. II) действует источник тока J . В месте под­ключения идеальных источников ЭДС (R₀ = 0) необходимо включить закоротки. В резуль­тате частичная схема рис. II представля­ет собой последовательно-параллельное со­единение резисторов, направления токов в ветвях однозначно определяются направле­нием источника тока J , а сами токи и на­пряжения на резисторах могут быть найдены методами расчета простых цепей.

Резистор R4 включен непосредственно на зажимы источника тока J , резистор R5 закорочен шестой ветвью, поэтому ток в нем Рис. II равен нулю, а токи в третьей и шестой ветвях равны между собой.

Резисторы R1 и R2 соединены параллельно и вместе - последова­тельно с резистором R5. Эквивалентное сопротивление этого участка

.

Токи в резисторах R3 и R4 могут быть найдены по правилу "чужого сопротивления", напряжения на этих резисторах - по закону Ома. Анало­гично определяются токи и напряжения резисторов R1 и R2:

;

31

;

;

;

;

;

;

.

Проверка расчета по законам Кирхгофа:

; 5 = 4,52 + 0,484; 5 = 5;

; 0,484 = 0,323 + 0,1613; 0,484 = 0,484;

; 3,23 = 3,23;

; 22,6 – 3,23 – 19,35 = 0; .

4. Результирующие токи и напряжения в ветвях исходной цепи опре­деляются алгебраическим сложением частичных токов и напряжений. Так, при нахождении тока в резисторе R1 со знаком "+" учитываются частич­ные токи I₁₍₁₎ и I₁₍₃₎, так как их направление совпадает с направлени­ем тока I₁ на рис.8; частичный ток I₁₍₂₎ учитывается со знаком "-", так как его направление противоположно направлению тока I₁ . Аналогич­ным образом определяются остальные токи и напряжения цепи:

32

.

Проверка расчета выполняется по законам Кирхгофа и уравнению энергетического баланса (пояснения см. в примере I):

1) ; 1,933– 4,03 + 2,1 = 0; ;

2) ; -2,1 – 8 + 10,16 = 0; ;

3) ; 5–1,933+4,03–7,1=0; .

;

100 – 200 = 1,933 · 10 - 2,1 · 40 - 7,1 · 5; ;

;

0 = 4,03 · 20 + 2,1 · 40 + 7,1 · 5 – 8 · 25; ;

; 200 = 8 · 25; .

33

;

100·1,933+200·10,16+5·7,1·5=1,933²·10+4,03²·20+2,1²·40+7,1²·5+8²·25;

Токи I₃ и I₄ (и соответственно напряжения U₃ и U₄ ) по расчету получились с отрицательными знаками. Это означает, что их истинные на­правления противоположны выбранным на рис. 8.