Методические указания

И РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

К РАСЧЕТУ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА ПО КУРСУ «ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ»

для студентов электротехнических

и электроэнергетических специальностей

Составители: Федоров К.А.

Былкова Н.В.

2006

Методические указания и расчетно-графичеекие задания к расчету сложных цепей постоянного тока по курсу "Теоретические основы электро­техники" для студентов электротехнических и электроэнергетических спе­циальностей.

Расчет электрической цепи заключается в составлении системы уравнений, описывающих электромагнитные процессы в цепи. Решение урав­нений позволяет определить значения токов (напряжений, мощностей) раз­личных элементов цепи. Выбор оптимального метода расчета позволяет сократить некоторое число уравнений и существенно уменьшить трудоем­кость расчета цепи.

В настоящих методических указаниях приводятся краткие теоретиче­ские сведения о наиболее часто применяемых на практике методах расче­та сложных электрических цепей постоянного тока.

Ключевые слова: сложные электрические цепи, методы расчета, узловые потенциалы, контурные токи, потенциальная диаграмма, преобразование цепи, эквивалентный генератор, ненаправленные графы, сигнальные графы.

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

При расчете электрической цепи методом узловых потенциалов опре­деляются потенциалы узлов цепи, а затем по закону Ома токи в ее вет­вях. Метод целесообразно применять в тех случаях, когда число узлов цепи меньше или равно числу независимых контуров этой цепи.

Так, для электрической цепи, имеющей четыре узла, составляется три расчетных уравнения (например, для узлов I, 2 и 3 потенциал узла 4 принимается равным нулю):

, ;

2

;

.

где - искомый потенциал К-го узла цепи (К = 1,2,3);

- собственная (узловая) проводимость к-го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к этому узлу;

_- взаимная (межузловая) проводимость узлов к и m, равная сумме проводимостей ветвей, включенных непосредственно между этими узлами;

– узловой ток к-го узла, определяемый из выражения

Под знаком первой суммы произведения ЭДС ветвей, присоединенных к К-му узлу, на проводимости этих ветвей учитывается ЭДС с положи­тельным (отрицательным) знаком, если она направлена к К-му узлу (от К-го узла). Под знаком второй суммы со знаком «+» ("-"} учитываются токи источников тока, которые направлены к К-му узлу (от К-го уз­ла).

Если в цепи между двумя узлами включен идеальный источник ЭДС (внутреннее сопротивление которого равно нулю), необходимо принимать равным нулю потенциал одного из его зажимов, тогда потенциал другого зажима источника будет равен ЭДС с соответствующим знаком, а количе­ство расчетных уравнений сократится.

Последовательность расчета цепи методом узловых, потенциалов рас­смотрим на примере. Параметры цепи считаются заданными.

ПРИМЕР 1: Определить токи в ветвях цепи (рис. 1) методом

узловых потенциалов. Положительные направления токов в

3

Рис 1.

E₁=100В R₁=10 Ом

E₆=200В R₂=20 Ом

I=5А R₃ =5 Ом R₄=25 Ом R₅=40 Ом

1. В заданной цепи четыре узла. Приравняем нулю (заземлим) потенциал узла 4.Тогда , В.

2. Составим расчетную систему уравнений для узлов, потенциалы которых подлежат определению:

;

.

Для узлов 2 и 4 уравнения не составляются, так как потенциалы этих узлов известны.

3. Определим узловые и межузловые проводимости:

;

4

;

;

.

Взаимная проводимость между узлами 2 и 3 равна нулю, так как эти узлы непосредственно не связаны между собой какими-либо ветвями» т.е. G₂₃=G₃₂=0. Проводимость ветви с источником тока J также равна нулю, так как его внутреннее сопротивление бесконечно велико. Если в какой-либо ветви последовательно включено несколько резисторов, внача­ле определяется общее сопротивление этой ветви, а затем ее проводи­мость.

Определим узловые токи:

4. Подставим полученные значения узловых и межузловых проводимостей, а также узловых токов в расчетную систему уравнений. Решая ее, определим искомые потенциалы узлов цепи:

,

,

или

,

.

Решить систему уравнений можно методом определителей или с по­мощью микрокалькулятора по соответствующей программе (прил. I), однако, если система содержит два уравнения, ее целесообразно решать домножением на

5

общие множители:

откуда

Для проверки расчета целесообразно полученные значения потенциа­лов, вычисленные с точностью до 3-4 значащей цифры, подставить в исходную систему уравнений, которые при этом, очевидно, должны обра­титься в тождества.

5. Используя закон Ома, определим токи в ветвях цепи. Направления токов в ветвях выбраны произвольно и указаны на схеме (рис. I).

Составим выражение для разности потенциалов (напряжения) между узлами 3 и 1:

,

откуда

т.е. в дальнейшем при выбранном направлении тока в ветви его величина определяется следующим образом: в числителе выражения от потенциала узла, из которого ток вытекает, вычитается потенциал узла, к которому ток подтекает. Если в ветви есть ЭДС, она учитывается со знаком «+» ("-"), когда ее направление совпадает (противоположно) с направлением тока, В знаменателе выражения для тока

6

находится суммарное сопротивле­ние ветви. Аналогично определяются токи остальных ветвей:

Значения токов I₁ , I₂ , и I₄ получились со знаком «-».

Это свидетельствует о том, что их направления в ветвях противоположны выбран­ным. Токи I₃ и I₄ равны между собой в силу принципа непрерывности электрического тока.

Ток в ветви с идеальной ЭДС Е₆ определяется из уравнения, со­ставленного по первому закону Кирхгофа. Например, для узла 2

, откуда

6. Проверка расчета цепи выполняется по законам Кирхгофа и урав­нению энергетического баланса (балансу мощностей), по первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Проверяем выполнение этого закона для всех узлов цепи (кроме узла 2: из уравнения для этого узла опреде­лялся ток I₆:

1) ; ; ;

3) ; ; ;

4) ; ; .

7

По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС в любом замк­нутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура. Проверяем выполнение этого за­кона дня всех независимых контуров заданной цепи;

Для контура с элементами Е_1, R₁ и R₂

; ; ;

для контура с элементами R₂, R₃, R₄ и R₅

;

; ;

для контура с элементами E₁, R₃, E₆, R₄ и R₁

;

; .

Дня любой электрической цепи мощность, потребляемая резисторами этой цепи, должна равняться мощности источников энергии. Уравнение энергетического баланса (баланс мощностей) в общем виде записывается следующим образом:

В левой части уравнения учтена мощность источников энергии. Мощ­ность источников ЭДС учитывается с положительным (отрицательным) зна­ком, если ток, протекающий через источник ЭДС, совпадает (противополо­жен) с направлением ЭДС.

Для определения знака мощности источника тока необходимо опреде­лить напряжение на источнике. Если ток

8

источника вытекает из точки с меньшим потенциалом и подтекает к точке с большим потенциалом, мощ­ность источника будет положительной (источник генерирует энергию). Если ток источника вытекает из точки более высокого потенциала по срав­нению с потенциалом точки, куда ток втекает, мощность источника будет отрицательной, а режим его работы соответствует потреблению энергии.

В правой части уравнения энергетического баланса записывается арифметическая сумма мощностей, потребляемых резисторами цепи и определяемых по закону Джоуля-Ленца. По своему физическому смыслу эти мощности могут быть только положительными.

Для заданной электрической цепи (рис. I) уравнение энергетическо­го баланса имеет вид

Расчет считается выполненным правильно, если расхождение между левой и правой частями уравнения электрического баланса не превышает 1...2%. Следует помнить, что при выполнении проверки расчета по зако­нам Кирхгофа и балансу мощностей уравнения составляются по выбранным. В начале расчета положительным направлениям токов в ветвях заданной цепи, а числовые значения токов в уравнения подставляются со знаками, полученными в расчете.

9

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

При расчете электрической цепи методом контурных токов составля­ются уравнения по второму закону Кирхгофа для некоторых так называемых контурных токов, протекающих в независимых контурах заданной цепи. То­ки в ветвях цепи определяются через контурные токи, протекающие в со­ответствующей ветви. Метод контурных токов целесообразно применять в тех случаях, когда число независимых контуров цепи меньше числа ее узлов.

Так, для цепи, имеющей три независимых контура, система расчетных уравнений может быть записана следующим образом:

;

;

,

где I_КК - искомый контурный ток к-то контура цепи ( к = I, 2, 3);

R_КК- собственное сопротивление К -го контура, равное сумме сопротив­лений всех ветвей, входящих в этот контур;

R_Кm - взаимное сопротивление контуров к и m, равное сумме сопротивлений ветвей, обтекаемых двумя соответствующими контурными токами. Взаимное сопротивление вхо­дит в уравнение с положительным (отрицательным) знаком, если контурные токи протекают по нему в одном (в противоположных) направлении. При выборе одинакового направления всех контурных токов в цепи все взаим­ные сопротивления в расчетных уравнениях имеют отрицательный знак;

Е_кк - контурная ЭДС к-го контура, определяется алгебраической сум­мой ЭДС, входящих в этот контур. Со

10

знаком "+" ("-") учитываются ЭДС, направление которых совпадает (противоположно) с направлением обхода контура (направлением контурного тока).

Если в ветвях заданной цепи включены идеальные источники тока, выбор контурных токов необходимо производить таким образом, чтобы в ветви с источником тока протекал только один контурный ток (равный то­ку источника); число расчетных уравнений при атом сократится.

Последовательность расчета цепи методом контурных токов рассмот­рим на примере. Параметры цепи считаются заданными.

Пример 2. Определить токи в ветвях цепи (рис. 2) методом контурных токов. Положительные направления токов в ветвях показаны на рисунке.

Рис. 2

E₁=100 В. R₁=10 Ом R₄=40 Ом

E₆=200В R₂=20 Ом R₅=50 Ом

I=5А R₃ =25 Ом

1. В заданной цепи четыре независимых контура, однако расчетных уравнений будет три, так как в одной из

11

ветвей включен идеальный ис­точник тока. Выбираем независимые контуры и направляем в них контурные токи. Составляем расчетную систему уравнений для искомых контурных токов:

;

;

,

Для контура 4 уравнение не составляется, так как его контурный ток известен: I₄₄=J

2. Определим собственные сопротивления контуров. Контурный ток I₁₁ обтекает резисторы R1 и R2 , следовательно

R₁₁ = R₁ + R₂ = 10 + 20 = 30 Ом

Аналогично для контуров 2 и 3:

R₂₂ = R₂ + R₃ + R₄ + R₅ = 20 + 25 +40 + 50 = 135 Ом

R₃₃ = R₅ = 50 Ом

Все собственные сопротивления контуров имеют положительный знак, так как направление обхода контура совпадает с направлением соответ­ствующего контурного тока.

Определим взаимные сопротивления контуров. Для контуров I и 2 об­щим является резистор R2. Направление обхода первого (второго) конту­ра в резисторе R2 противоположно направлению контурного тока I₂₂

(контурного тока I₁₁), поэтому взаимное сопротивление контуров I и 2 имеет отрицательный знак:

R₁₂ = R₁₂ = - R₂ = -20 Ом

12

Общим для контуров 2 и 3 является резистор R5. Направление обхо­да второго (третьего) контура в резисторе R5 совпадает с направлени­ем контурного тока I₃₃ (контурного тока 1_£1), поэтому взаимное сопро­тивление этих контуров имеет положительный знак:

R₂₃ = R₃₂ = R₅ = 50 Ом

Контуры 1 и 3 общих ветвей не имеют, поэтому R₁₃=R₃₁=0

Аналогично определяются взаимные сопротивления контуров 1 и 4, 2 и 4, 3 и 4:

R₂₄ = R₄₂ = - R₄ = -40 Ом ; R₃₄ = R₄₃ = 0 ; R₁₄ = R₄₁ = -R₁ = -10 Ом

Определим контурные ЭДС (направление обхода каждого из контуров совпадает с направлением контурного тока в нем):

Е₁₁ = Е₁ = 100 В.; E₂₂ = 0; E₃₃ = E₆ = 200 В.

3. Подставим вычисленные значения собственных и взаимных сопро­тивлений, а такие значения контурных ЭДС в систему расчетных уравне­ний. Решая ее, определим искомые контурные токи:

30I_н – 20I₂₂ - 10·5 = 100 или 30I_н–20I₂₂ =150

-20I_н + 135I₂₂ + 50I₃₃- 40·5 = 0 или -20I_н+135I₂₂+50I₃₃ =200

50I₂₂ + 50I₃₃ = 200 или 50I₂₂+50I₃₃ =200

Система уравнений может быть решена с помощью микрокалькулятора по соответствующей программе (прил, I)

13

или методом определителей. В этом случае матрица коэффициентов (после сокращения каждого уравне­ния на общий множитель) имеет вид

| 3 -2 0 | 15

| -2 13.5 5 | 20

| 0 1 1 | 4

Определители системы:

;

;

;

.

Искомые контурные токи:

; ;

;

.

Для проверки расчета целесообразно полученные значения контурных токов, вычисленные с точностью до 3-4 значащей цифры, подставить в ис­ходную систему уравнений, которые при этом должны обратиться в тожде­ства.

4. Определим токи в ветвях заданной цепи, рассматривая ток в каж­дой ветви как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих в этой ветви. Контурный ток берется со знаком "+" ("-"), если его направление совпадает (противоположно) с выбранным направлением тока в ветви:

14

; ;

; ;

; .

Ток I₄ по расчету получился со знаком "-". Это означает, что его истинное направление противоположно выбранному.

5. Проверка расчета выполняется по законам Кирхгофа и уравнению энергетического баланса.

По первому закону Кирхгофа:

1) ; 5 + 0,93 – 4,54 – 1,395 = 0; ;

2) ; 1,395 – 4 + 2,6 = 0; ;

3) ; -0,93 + 4,54 – 3,6 = 0; ;

4) ; -5 + 3,6 + 4 – 2,6 = 0; .

По второму закону Кирхгофа:

; 100-200=0,93·10+1,395·25-3,6·40; ;

; 100 = 0,93 · 10 + 4,54 · 20; ;

; 200 = 4 · 50; .

15

По уравнению энергетического баланса:

;

100·0,93+200·2,6+5(200+1,395·25)=0,93²-10+4,54²·20+ +1,395²·25+3,6²·40+4²·50; 1787 ~ 1788 (Вт).