5. Способы обработки результатов измерений с учетом статистических погрешностей

 

5.1. Проверка гипотезы нормальности распределения

 

Рассмотрим вариант проверки нормальности закона распределения генеральной совокупности, из которой взята выбора. Большая часть наших рассуждений о погрешностях основана на том, что погрешность распределена нормально: это допущение следует всегда проверять, если оно не вытекает из более ранних исследований.

Наиболее простой вариант, состоящий в сопоставлении измеренного распределения с нормальным, основан на исследовании так называемой диаграммы накопленной частоты (вероятности).

Количественная оценка проводится с помощью так называемого (хи-квадрат) - распределения:

1. Определяют из выборки оценки:

 

.

 

2 . Разбивают измеренные значения на интервалов (при необходимости интервалы могут иметь различную ширину) таким образом, чтобы в каждом интервале находилось, по крайней мере, пять измеренных значений.

3. Определяют число измеренных значений в каждом интервале n_oi.

4. Для нормального распределения с и находят вероятность попаданий измеренных значений в -тый интервал. По ней определяют число измеренных значений , которые должны были бы попасть в этот интервал при нормальном распределении: , где - объём выборки.

5. Проводят вычисления:

и и, используя результаты, представленные на рис.6.1, принимают или отвергают гипотезу.

Если точка лежит в незаштрихованной области, то нет оснований сомневаться в том, что генеральная совокупность, откуда произведена выборка, имеет предполагаемое нормальное распределение. Однако это не означает, что речь идёт о каждом случае нормального распределения. Можно только утверждать, что, если нормальное распределение действительно имеет место, то в среднем только в 5 % всех случаев лежит в верхней и в 5 % всех случаев в нижней заштрихованных областях (рис. 6.1). Поэтому, если величина попадает в эти области, гипотеза отвергается.

5.2. Грубые погрешности измерения и их отсеивание

 

Если большой ряд измерений или выборку привлекают для даль­нейшей обработки, то каждый раз возникает вопрос, не содержит ли этот ряд ошибочных измерений. Ответ на этот вопрос может быть получен следующим образом:

1. Предполагают, что различия в измерениях обусловлены случайными погрешностями. Обычно эти погрешности имеют нормальное распределение.

2. По измеренным значениям определяют характеристики распределения. Для нормального распределения такими характеристиками являются средняя величина и рассеяние S.

3. Выбирают доверительную вероятность, например, 95 %.

4. Для предполагаемого нормального распределения с и можно (рис.5.1) определить доверительный интервал при выбранной доверительной вероятности. Например, при до- верительной вероятности 95 % интервал равен + 1,96 . Это означает, что только в 2,5 % всех случаев значения и в 2,5 % всех случаев - значения .

5. Для измеренных величин, лежащих вне доверительного интервала, отвергаем гипотезу об их принадлежности генеральной совокупности, имеющей предполагаемое нормальное распределение, так как вероятность появления таких значений мала. Эти величины мы рассматриваем как грубую погрешность (выброс). Мы предполагаем, что их появление обусловлено не случайной, а какой-либо систематической погрешностью (например, ошибкой в отсчёте или воздействием помех).

6. После исключения грубой погрешности рассчитывают исправленные оценки и S.