5.4. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Решение задачи Коши , имеет вид …

Решение: Проинтегрировав обе части уравнения, получим: . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид . Для вычисления значения  подставим в найденное общее решение начальное условие . Тогда  и . Следовательно, частное решение имеет вид .

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Функция  является общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Тогда для начального условия  частное решение этого уравнения имеет вид …

Решение: Подставив в общее решение начальное условие , то есть , получим значение . Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , имеет вид …

Решение: Проинтегрируем обе части уравнения: . Подставив условие , получим  и .

Тема: Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Решение задачи Коши , имеет вид …

Решение: Запишем уравнение в виде . Проинтегрировав обе части, получим: . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид . Для вычисления значения  подставим в найденное общее решение начальное условие . Тогда  и . Следовательно, частное решение имеет вид .

5.5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами

Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка  имеет вид …

Решение: Составим характеристическое уравнение  и решим его: . Тогда общее решение исходного уравнения примет вид .

Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Решение: Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция  – общее решение однородного уравнения , а функция  – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения. Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение  и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид . Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как  не является корнем характеристического уравнения, то частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде .

Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Общий вид частного решения  линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  будет выглядеть как …

Решение: Общее решение этого уравнения можно записать в виде , где функция  – общее решение однородного уравнения , а функция  – некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения. Для однородного уравнения составим характеристическое уравнение  и найдем его корни: . Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид . Поскольку правая часть исходного уравнения , то имеем уравнение со специальной правой частью. Так как  является корнем характеристического уравнения, то частное решение  неоднородного уравнения будем искать в виде .