Задание 7

Заданы матрица вероятностного перехода цепи Маркова и вектор начального распределения вероятностей.

Требуется: 1) построить граф состояний системы; 2) найти вектор распределения вероятностей p состояний системы через 2 шага; 3) найти финальные вероятности.

Варианты

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

Тема 7. Элементы теории массового обслуживания

1. Классификация систем массового обслуживания, их основные характеристики.

2. Входящий и выходящий поток требований.

3. Процесс «гибели и размножения».

4. Система массового обслуживания (СМО) с параллельными обслуживающими устройствами и ограниченной очередью.

5. СМО с отказами.

6. СМО с неограниченной очередью для ожидания.

7. Замкнутые СМО.

Теория массового обслуживания изучает зависимость между характером потока заявок ( требований), числом каналов (единицы обслуживания), их производительностью, правилами работы систем массового обслуживания (СМО) и эффективностью обслуживания.

В СМО происходит случайный процесс, что обусловлено случайным характером потока заявок и временем их обслуживания. Будем считать, что все потоки событий (потоки заявок, потоки обслуживания заявок и т.д.), переводящие СМО из состояния в состояние, являются пуассоновскими (тогда процесс, протекающий в системе, является Марковским) и интервал времени Т между поступлениями требований в СМО в этом потоке есть случайная величина, распределенная по показательному закону ; - интенсивность потока событий. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени , распределенного по показательному закону ; - интенсивность обслуживания заявок.

При вычислении основных характеристик эффективности обслуживания СМО основываются на том, что Марковский процесс, протекающий в них, является частным случаем процесса «гибели и размножения», т.е. граф состояний имеет вид

_{1 2} _{2 3} …_{n -2,n-1} _{n -1,n}

S₁ S₂ S₃ S_n-1 S_n

₂₁ ₃₂ _n-1,n-2 _n,n-1

Так как режим является установившимся, то дифференциальные уравнения Колмогорова для этого процесса имеют вид:

(7.1)

где - предельная вероятность состояния системы;

- интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния в состояние .

При решении системы получаем, что предельная вероятность состояния системы выражается через :

. (7.2)

Из уравнения находим :

= . (7.3)

В качестве примера вычислим характеристики одноканальной СМО с отказами.

Пример 7.1. Трехканальная СМО с отказами представляет собой АТС с тремя телефонными линиями. Заявка-вызов, пришедший в момент, когда все три линии заняты, получает отказ (соединения не происходит). Интенсивность потока вызовов в минуту. Средняя продолжительность разговора равна минут. Найти вероятности состояний, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность отказа и среднее число занятых и простаивающих каналов.

Решение. Интенсивность обслуживания одной линией (среднее число разговоров, обслуженных одной линией за единицу времени) равна

.

Приведенная интенсивность потока заявок

.

Используя дифференциальные уравнения Колмогорова получаем:

;

;

.

.

Вероятность отказа .

Относительная и абсолютная пропускные способности равны

.

Среднее число занятых каналов

.

Таким образом, в установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято чуть больше одного канала, остальные будут простаивать. Этой ценой достигается относительно высокий уровень эффективности обслуживания – около 91% поступивших вызовов будет обслужено.