Методические указания по решение задачи № 4

Рекомендуется решить задачу сначала графически, так как в этом случае менее вероятны арифметические ошибки.

Решение задачи симплекс-методом полезно сверять на каждом шаге с графическим решением: каждая симплекс таблица должна соответствовать пересечению каких-либо ограничений. При этом не следует забывать, что оси координат, вследствие требования неотрицательности переменных, также являются ограничениями.

Пример: Найти x₁ и x₂ , которые максимизируют целевую функцию

F(x_i) = 2x₁ + 3x₂   max

при условиях ограничений:

Задачу решить 1) графически; 2) симплекс-преобразованием; 3) с помощью симплекс-таблицы.

Решение

1. Графический метод

Целевая функция f = 0 + 2x₁ + 3x₂   max

при условиях ограничений

Строим в осях координат (прямоугольные) x₁ и x₂  прямые, соответствующие условиям ограничений

x₁ + x₂  = 6 (1)

x₁ + 2x₂  = 8,5 (2)

x₁ = 4 (3)

x₂  = 3 (4)

Каждое уравнение строим по двум координатам, определяемым исходя из пересечения осей.

Строим также F(x_i) = 2x₁ + 3x₂  = 6.

Решение: F(x_i) = 14,5max при x₁ = 3,5, x₂  = 2,5.

Рис. 3

2) Симплекс-преобразование

Запишем целевую функцию и условия ограничений в каноническом виде:

F = 2x₁   3x₂   min

F = 0(2x₁  + 3x₂)  min



где x₃  x₆   дополнительно введенные неизвестные - обозначим их базисными; а x₁  и x₂   свободные переменные.

Найдем значения базисных переменных и значение функции цели при равенстве нулю свободных переменных: x₁ = 0; x₂ = 0.

F(x_i) = 0, x₃ = 6, x₄ = 8,5, x₅ = 4, x₆ = 3  это одно из базисных решений и соответствует одной из вершин выпуклого многоугольника (точка А).

Задача заключается в том, чтобы переходя от одной вершины к другой, функция цели  min.

Поскольку можно изменять свободные переменные x₁  или x₂ , то наибольшее воздействие окажет, если мы изменим x₂ , т.к. у него коэффициент больше, чем при x₁ , x₂  будем увеличивать до тех пор, пока одна из базисных переменных не обратится в нуль.

x3 = 0 при x2 = 6 x4 = 0 x2 = 4,25 x5  не зависит от x2  x6 = 0 если x2 = 3

Меняем переменные там, где x2  самое минимальное x2   базисная; x6   свободная x2  = 3  x6

x₁  и x₆  свободные переменные.

Выразим базисные переменные и F(x_i)  через новые свободные переменные:

F = 0  (2x₁ + 33  3x₆) =  9  (2x₁  3x₆).

Находим значения базисных переменных и функции цели при равенстве нулю свободных переменных

F₂ = 9 < F₁ = 0

x₁ = 0, x₂ = 3, x₃ = 3, x₄ = 2,5, x₅ = 4, x₆ = 0 (точка В).

Это решение можно еще улучшить, т.к. в функции цели есть положительный коэффициент при x₁ , поэтому будем увеличивать x₁  до тех пор, пока одна из базисных переменных не обратится в нуль.

В качестве свободных переменных принимаем x₄  и x₆ , через которые и выразим условия ограничений и F(x_i).

х₁ = 2,5  х₄ + 2х₆

х₂ = 3  х₆

х₃ = 3  2,5 + х₄  2х₆ + х₆ = 0,5 + х₄  х₆ 

х₅ = 4  2,5 + х₄  2х₆ = 1,5 + х₄  2х₆ 

F(x) = 9  (5  2х₄ + 4х₆  3х₆) = 14 (2х₄ + х₆).

Новое решение имеет вид:

F(x) = 14

при

х₁ = 2,5, х₂ = 3, х₃ = 0,5,

х₄ = 0, х₅ = 15, х₆ = 0 (точка С).

Но в функции цели при х₆  есть положительный коэффициент:

х₁   0 при х₆ = 1,25

х₂   0 при х₆ = 3

х₃   0 при х₆ = 0,5

х₅   0 при х₆ = 0,75

Делаем замену х₆   х₃:

х₆ = 0,5 + х₄ – х₃;

х₁ = 2,5 – х₄ + 20,5 + 2х₄ – 2х₃ = 3,5 + х₄ – 2х₃;

х₂ = 3 – 0,5 – х₄ + х₃ = 2,5 – х₄ + х₃;

х₅ = 1,5 + х₄ – 2(0,5 + х₄ – х₃) = 0,5 – х₄ + 2х₃;

–F(х_i) = 14 – (– 2х₄ + 0,5 + х₄ – х₃) = –14,5 – (– х₄ – х₃).

Приравнивая х₄ и х₃  0 находим

F(х_i) = 14,0, х₁ = 3,5, х₂ = 2,5,

х₃ = 0, х₄ = 0, х₅ = 1,5, х₆ = 0,5 (точка Д).

Дальнейшее изменение свободных переменных не приводит к увеличению F(х), следовательно, точка Д является решением.