Основна теоретична інформація

1. Побудова варіаційних рядів розподілу

Варіаційні ряди розподілу будуються для кількісних (або варіаційних) ознак, які вимірюються метричною шкалою. Кількісні ознаки бувають двох видів: дискретні – набувають окремих ізольованих одне від одного значень із скінченної або зліченої множини; б) неперервні – набувають значень із незліченої множини і можуть змінюватись неперервно.

У статистиці дискретними вважають ознаки, які можуть набувати тільки цілочислових значень, усі інші ознаки вважаються неперервними.

Нехай задана статистична сукупність обсягом п: z₁, z₂, …, z_n, яку за необхідності можна розглядати як вибірку з певної генеральної сукупності. Елементи статистичної сукупності, тобто числа z_i (i= ), називаються варіантами.

Звичайним варіаційним рядом (далі ‑ з. в. р. ) для даної статистичної сукупності називається упорядкована послідовність варіант z_i (i= ), записаних у неспадному порядку: у₁, у₂, …, у_п, де у_і ≤ у_і+1.

Якщо обсяг статистичної сукупності, на погляд дослідника, досить великий, то її подальше дослідження зручно виконувати, провівши групування даної сукупності або попередньо побудованого з. в. р. у дискретний або інтервальний варіаційний ряд.

Дискретний варіаційний ряд (далі – д. в. р. ) має два види: д. в. р. частот та д. в. р. часток.

Дискретним варіаційним рядом частот (далі – д. в. р. f.) називається упорядкована послідовність пар “варіанта‑частота”, розташованих у порядку зростання варіант: (x₁; f₁), (x₂; f₂), …, (x_m; f_m), де т – кількість різних значень варіант х_і; f_i – частота варіанти х_і, тобто кількість елементів статистичної сукупності або варіаційного ряду, які мають значення х_і; х_і<х_і+1.

Д. в. р. f зазвичай будується у вигляді таблиці з двома рядками або стовпцями. У верхній рядок або лівий стовпець записуються варіанти х_і, у нижній рядок або правий стовпець – частоти f_i (табл. 1.1).

Таблиця 1.1

Дискретний варіаційний ряд частот

Варіанти, хі	x1	x2	…	xm
Частоти, fi	f1	f2	…	fm

Аналогічно визначається і будується дискретний варіаційний ряд часток (або д. в. р. w) (табл. 1.2)

Таблиця 1.2

Дискретний варіаційний ряд часток

Варіанти, хі	x1	x2	…	xm
Частки, wi	w1	w2	…	wm

де w_і = f_i /n – частка варіанти х_і, п – обсяг сукупності.

Групувати статистичну сукупність у д. в. р. зручно, коли число т порівняно невелике: m<<n, що характерно для дискретної ознаки. Тому у статистиці зазвичай прийнято для дискретної ознаки будувати д. в. р. 

Якщо д. в. р. w будується для дискретної ознаки, то його можна розглядати як статистичний аналог закону розподілу генеральної сукупності, з якої вибрана статистична сукупність, що згрупована в даний д. в. р. w.

Інтервальний варіаційний ряд (або і. в. р. ) може мати два види: і. в. р. частот та і. в. р. часток.

Інтервальним варіаційним рядом частот (або і. в. р. f) називається упорядкована послідовність пар “інтервал-частота”, розташованих у порядку зростання меж інтервалів: , де т – кількість інтервалів; f_i – частота і-го інтервалу, тобто кількість елементів статистичної сукупності (або з.в.р.), які належать і-му інтервалу; та – відповідно ліва і права межі і-го інтервалу; < .

Інтервали і. в. р. f можуть бути рівними або нерівними, а крайній лівий або правий можуть не мати відповідно лівої та правої меж. В останньому випадку крайні інтервали і. в. р. f називаються відкритими. Надалі розглядатимемо побудову і. в. р. f з рівними закритими інтервалами.

Усі інтервали, крім останнього, вважаються замкненими зліва і незамкненими справа. Останній інтервал ‑ замкненим і справа.

Для побудови і. в. р. f спочатку необхідно вибрати або знайти число інтервалів т. Число т може вибиратись дослідником суб’єктивно на основі його власного досвіду, а може обчислюватись за однією з формул: , або m=1 +[log₂ n], або , або m≈1+ log₂ n, де [х] – ціла частина числа х. Оскільки т натуральне число, то праві частини останніх двох рівностей повинні округлюватись до цілих. Зауважимо, що

Після вибору числа т знаходимо ширину h інтервалів за формулою

,

де та ‑ довільні числа, для яких виконуються умови: ≤ , ≤ , де та – відповідно найменше та найбільше значення варіант: =у₁, =у_п. При цьому бажано, щоб відхилення та від відповідно та було якомога меншим і хоча б наближено виконувалась рівність – = – .

Іноді зручно ширину інтервалу обчислювати за формулою

.

Якщо при цьому не виникає необхідність округлення величини h, то це означає, що = , = . Якщо величину h треба округлювати, то округлення необхідно робити тільки з надлишком, інакше число у_п може не потрапити в останній інтервал. При цьому бажано, щоб похибка округлення не перевищувала 0,1h. Після округлення величини h значення та необхідно змінити так, щоб рівність (1.9) виконувалась точно.

Після обчислення числа h знаходимо межі інтервалів:

Будується і. в. р. f зазвичай у вигляді таблиці з двома рядками або стовпцями. У верхньому рядку або лівому стовпцю записуються інтервали, у нижньому рядку або правому стовпцю – частоти (табл. 1.3).

Таблиця 1.3