Лабораторная работа № 4 Резонансные явления в параллельном колебательном контуре

Цель работы

Теоретически и с помощью пакета программ Electronics Workbench (EWB) исследовать резонансные явления в параллельном колебательном контуре.

4.1. Основные теоретические сведения

Р езонансом в электрической цепи или на участке, содержащей индуктивности и ёмкости, называют явление, при котором гармонические напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе. Различают два вида резонанса: резонанс напряжений в цепи, состоящей из последовательно соединённых индуктивности и ёмкости; и резонанс токов в цепи с параллельным соединением двух ветвей, одна из них содержит резистор и катушку индуктивности, вторая - резистор и конденсатор. Цепь, в которой наблюдается резонанс напряжений, называется последовательным колебательным контуром, а резонанс токов - параллельным колебательным контуром.

а б

Рис. 4.1Схемв замещения и векторная диаграмма исследуемой цепи

На рис. 4.1,а приведена схема параллельного колебательного контура. Резонансные явления в параллельном колебательном контуре называют резонансом токов. При резонансе реактивные составляющие токов в индуктивности - и ёмкости - компенсируют друг друга (рис. 4.1,б).

В режиме резонанса ток - и напряжение - на входе контура совпадают по фазе. Определим токи в ветвях

; (4.1)

; (4.2)

;

_, (4.3)

где , , и - активные проводимости ветвей; , и - реактивные проводимости ветвей; - комплексная проводимость контура; _, - активные составляющие токов ветвей (рис. 4.1, б); , - реактивные составляющие токов ветвей.

С учетом и определим проводимости ветвей

, , ; (4.4)

, , . (4.5)

Токи и в параллельных ветвях контура могут во много раз превышать входной ток, поэтому резонанс в параллельном контуре называют резонансом токов. Отношение токов (коэффициент передачи по току) является одной из важных частотных характеристик контура (например, между током через ёмкость и входным током)

. (4.6)

Входное комплексное сопротивление контура

. (4.7)

Комплекс действующего значения входного тока

. (4.8)

Комплексная АФЧХ для схемы рис 4.1,а

. (4.9)

С учётом (4.4) и (4.5) можно определить частотные характеристики для параллельного контура

, ; (4.10)

, ; (4.11)

;

; (4.12)

; . (4.13)

В резонансном режиме должно выполняться условие

т. е. и . (4.14)

Из условия (4.14) с учетом и можно определить резонансную частоту для параллельного контура

, (4.15)

где и - резонансная частота и характеристическое сопротивление последовательного контура.

Рис. 4.2

Как видно из (4.15), резонансная частота , в отличие от частоты , зависит от активных потерь в катушке индуктивности и ёмкости. Если потери в активных сопротивлениях контура малы, то такой контур считается идеальным, а резонансные частоты последовательного и параллельного контура совпадают . Анализ выражения (4.15) показывает, что при значениях или резонанса в контуре не происходит.

На резонансной частоте реактивные проводимости ветвей равны между собой и называются характеристической проводимостью параллельного колебательного контура.

Отношение действующего значения тока реактивного элемента к входному току параллельного колебательного контура на резонансной частоте называется добротностью параллельного колебательного контура

. (4.16)

На рис. 4.2 показаны передаточные частотные характеристики по току (4.10) и параллельного контура. В резонансном режиме характеристика достигает максимального значения, этот максимум определяет добротность контура и показывает во сколько раз ток в реактивном элементе контура (например, в ёмкости) больше входного тока. Фазочастотная характеристика в режиме, близком к резонансу, имеет разрыв, т. е. значение разности фаз при переходе частоты изменяется на .

Рис. 4.3

Рис. 4.4

На рис. 4.3 показаны частотные характеристики входного сопротивления (10) и параллельного контура. В резонансном режиме модуль входного сопротивления достигает максимального значения , а у идеального контура его значение равно бесконечности. ФЧХ показывает, что при изменении частоты входное сопротивление носит индуктивный характер, а в диапазоне - ёмкостной.

На рис. 4.4 показаны частотные характеристики входного тока (4.11) и параллельного контура. Минимального значения ток достигает при резонансе, а его численное значение определяется величиной активной проводимости контура: .

На рис. 4.5 показаны характеристики ЛАЧХ - и ФЧХ - передаточной функции по напряжению, рассчитанные по формулам (4.13) для параллельного контура, включенного последовательно с резистором R (рис. 4.1,а). По этим характеристикам может быть определена полоса пропускания (П) .

Рис. 4.5

Для контуров, имеющих высокое значение добротности ( >> и >> ), добротность - Q, резонансные частоты последовательного - и параллельного колебательного контуров совпадают с , а значение характеристического сопротивления .

Для увеличения добротности параллельного резонансного контура сопротивление в ветви с конденсатором полагают равным нулю , а в ветви с катушкой индуктивности оставляют только активное сопротивление провода обмотки.

Для расчета частотных характеристик (4.10) ¸ (4.13) контуров с высокой добротностью и в режиме, близком к резонансу, можно пользоваться приближенными формулами:

входное сопротивление ; (4.17)

коэффициент передачи по току , (4.18)

где - добротность контура, - обобщенная расстройка; - резонансная частота. Добротность контура определяет полосу пропускания .

Для увеличения добротности контура вместо катушек индуктивности используют электронное устройство (гиратор - инвертор сопротивления), выполненное с применением операционных усилителей. Такого рода устройства называются активными фильтрами. Индуктивность гиратора может достигать тысяч Генри при меньших габаритах, по сравнению с обыкновенными катушками индуктивности.