Відстань від точки до прямої

Нехай задано деяку точку М₀ (х₀, у₀) і пряму l: Ах + Ву + С = 0. Пересвідчимось, що М₀ не лежить на прямій, Ах₀ + Ву₀ + С  0, тоді відстань від точки М₀ (х₀, у₀) до прямої Ах + Ву + С = 0 можна знайти за формулою:

. (4.20)

Контрольні запитання

1. Предмет вивчення аналітичної геометрії.

2. Основний метод аналітичної геометрії.

3. Основні задачі аналітичної геометрії.

4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.

5. Визначення відстані між двома точками на площині.

6. Визначення відстані між двома точками у просторі.

7. Поділ відрізка у данному відношенні у просторі.

8. Координати середини відрізка на площині.

9. Рівняння прямої через дану точку перпендикулярно данному вектору.

10. Загальне рівняння прямої на площині.

11. Рівняння прямої у відрізках на площині.

12. Канонічне рівняння прямої на площині.

13. Параметричне рівняння прямої на площині.

14. Рівняння прямої, що проходить через дві точки на площині.

15. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом на площині.

16. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через задану точку на площині.

17. Умова паралельності прямих на площині.

18. Умова перпендикулярності прямих на площині.

§5. Криві другого порядку. Їхня форма I канонічні рівняння

Лінії, координати точок яких задовольняють рівняння, що в прямокутній системі координат є рівняннями другого степеня, називають лініями другого порядку або кривими другого порядку.

Рівняння кривої другого порядку має вигляд

. (5.1)

До кривих другого порядку належать: коло, еліпс, гіпербола, парабола.

Коло

Означення. Колом називають геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки — центра кола, на задану відстань —радіус кола.

Виведемо рівняння кола. Нехай задано коло з центром у точці С(а, в) і радіусом R. Візьмемо довільну точку M(x, y) .

y

O x

Рис. 16

Тоді за означенням кола CM=R, тобто

(5.2)

Рівняння (5.2) називають рівнянням кола з центром в точці C(a,b)і радіусом R.

Зауваження. Якщо центр кола знаходиться в точці О(0,0), то його рівняння матиме вигляд

(5.3)

Елiпс

Означення. Еліпсом називають геометричне місце точок площини, сума відстаней від яких до заданих точок (фокусів) є величиною сталою й більшою за відстань між фокусами.

Виведемо рівняння еліпса. Через позначимо фокуси, —відстань між ними, — сума відстаней від довільної точки еліпса до фокусів ( ). Виберемо систему координат, як показано на малюнку.

y

M

х

Рис. 17

У цій системі координат . Виберемо на еліпсі довільну точку . За означенням . Оскiльки

,

то

Спростимо це рівняння.

Піднесемо обидві частини рiвностi до квадрату:

Поділимо обидві частини на :

Оскільки , то позначимо

. (5.4)

Одержимо

(5.5)

Рівняння (5.5) є канонічним рівнянням еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох. Параметри є півосями еліпса, які розташовані на вісях координат. Точки — вершини еліпса. Відрізки — велика й мала вісі відповідно.

Якщо фокуси еліпса лежать на вісі Оy, то його рівняння має вигляд:

. (5.6)

Означення. Ексцентриситетом еліпса називають величину

. (5.7)

Оскільки то . З останньої рівності випливає геометричний зміст ексцентриситету, який полягає в тому, що він характеризує ступінь витягнутості еліпса. Так, при маємо коло, якщо наближається до одиниці, то відношення довжини півосей еліпса стає малим, еліпс витягується вздовж осі Ох. Отже, у кола , у еліпса , ексцентриситет еліпса характеризує його форму.

Розглянемо геометричний зміст параметрів, що входять у рівняння (5.5). Якщо х = 0, то у =  b, точки (0, b) і (0, – b) — точками перетину еліпса з віссю Оy. Відрізок завдовжки b називають малою піввіссю еліпса. При , х =  а і відповідно (а, 0); (– а; 0) є точками перетину еліпса з віссю Ох. Відрізок завдовжки а — велика піввісь еліпса. З парності виразу (5.5) за х і за у випливає симетрія еліпса відносно осей Ох і Оу.