5.7. Аналитический способ определения перемещений

При изгибе ось балки искривляется. В силу малости деформаций и при условии, что вертикальная ось является главной можно считать, что при изгибе центры тяжести поперечных сечений перемещаются по вертикали. Такое перемещение называются прогибом сечения. Прогиб сечения (рис.5.4)считается положительным, если центр тяжести сечения перемещается вверх. Кроме этого, каждое сечение, оставаясь плоским, поворачивается вокруг нейтральной линии на некоторый угол, который называется углом поворота сечения. Угол поворота сечения (рис. 5.4) считается положительным, если сечение поворачивается против хода часовой стрелки.

Рис. 5.4

Изогнутую ось балки называют упругой линией. Уравнение упругой линии, представляющее функциональную связь между прогибом у и координатой х сечения y=y(x), зависит от внешней нагрузки, материала балки, размера и формы поперечного сечения. Если вид функции y(x) известен, то прогиб произвольного поперечного сечения с координатой х_к можно найти как значение функции y(x) при х=х_к , а угол поворота этого сечения будет равен значению первой производной при х=х_к. Вид функции у(х) можно найти из приближенного дифференциального уравнения упругой линии.

Если направить ось у вверх, то для балки постоянного поперечного сечения приближенное дифференциальное уравнение упругой линии

имеет вид

,

где Е – модуль упругости материала, - осевой момент инерции поперечного сечения, - изгибающий момент в произвольном поперечном сечении на последнем грузовом участке балки.

Проинтегрировав это дифференциальное уравнение два раза, получим два уравнения:

(*)

(**)

Уравнение (*) служит для определения угла поворота сечения, а уравнение (*) – для определения прогиба сечения. В эти уравнения входят постоянные интегрирования С и D. Они определяются из граничных условий, зависящих от условий закрепления балки:

Метод определения перемещений, основанный на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии, называют аналитическим методом определения перемещений.

Примеры на составление и интегрирование приближенного диф-ференциального уравнения упругой линии приведены в [ 2 ].

5.8. Графоаналитический метод определения перемещений

Универсальным способом для определения линейных и угловых перемещений в любых системах, состоящих из шарнирно соединенных брусьев является метод Мора.

При отыскании линейного перемещения (прогиба) к системе, освобожденной от заданных нагрузок, в направлении искомого перемещения в заданной точке прикладывается безразмерная единичная сила. Аналогично, при определении углового перемещения в заданном сечении прикладывается пара сил с моментом, равным безразмерной единице.

Формула (интеграл) Мора для определения перемещений имеет вид:

,

где - искомое перемещение (линейное или угловое). Первый индекс указывает точку, в которой определяется перемещение. Индекс Р означает, что определяется перемещение от заданных нагрузок;

и - аналитические выражения изгибающих моментов от заданной нагрузки и единичной силы (момента) соответственно.

Суммирование производится по грузовым участкам, -длина i-го грузового участка.

В случае балки постоянного поперечного сечения с прямолинейной осью интеграл Мора удобно вычислять графоаналитическим методом, применяя правило Верещагина. По этому правилу интеграл Мора для отдельного i-го участка балки вычисляется как произведение площади нелинейной эпюры изгибающих моментов на ординату линейной эпюры изгибающих моментов, взятую под центром тяжести нелинейной, деленную на жесткость поперечного сечения. Таким образом, при применении правила Верещагина вычисление перемещения ведется по формуле

,

где - площадь нелинейной эпюры изгибающих моментов;

- ордината линейной эпюры изгибающих моментов, соответствующая центру тяжести нелинейной;

- жесткость поперечного сечения балки.

Смысл параметров и пояснен на рис. 5.5.

Рис. 5.5

Произведение считается положительным, если часть эпюры, имеющая площадь , и соответствующая ордината расположены по одну сторону от базы эпюры.

Применение правила Верещагина подробно рассмотрено в [ 2 ].