Тема 7. Показники варіації.

Різниця індивідуальних значень ознаки усередині досліджуваної сукупності в статистиці називається варіацією ознаки. Вона виникає в результаті того, що його індивідуальні значення складаються під сукупним впливом різноманітних чинників (умов), що по-різному сполучаться в кожному окремому випадку.

Коливальність окремих значень характеризує показники варіації

Абсолютні і середні показники варіації і засоби їхнього розрахунку. Для характеристики коливальності ознаки використовується ряд показників. Найбільше простій із них - розмах варіації, визначальний як різниця між найбільшим і найменшим значеннями варіантів:

Роздивимося коливальність показників обсягу товарообігу в середньому на одне підприємство (див. табл. 7.1 і 7.2).

Таблиця 7.1

Регіон 1

Групи підприємств по обсягу товарообігу, тис. грн.	Число підприємств	Розрахункові показники
1	2	3	4	5	6	7	8
90-100 100-110 110-120 120-130	28 48 20 4	95 105 115 125	2660 5040 2300 500	-10 0 10 20	-280 0 200 80	100 0 100 400	2800 0 2009 1600
Разом	100		10500		560	560	6400

Таблиця 7.2

Регіон 2

Групи підприємств по обсягу товарообігу, тис. грн.	Число підприємств	Розрахункові показники
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
60-80 80-100 100-120 120-140 140-160 160-180	21 27 24 16 8 4	70 90 110 130 150 170	1470 2430 2640 2080 1200 680	-35 -15 50 25 45 65	-735 -405 120 400 360 260	-40 -20 0 20 40 60	-2 -1 0 1 2 3	-42 -27 0 16 16 12	84 27 0 16 32 36
Разом	100		10500		2280			-25	195

Середній обсяг товарообігу на одне підприємство по регіонах дорівнює 105 тис. грн.:

Проте показник розмаху варіації склав:

регіон 1: R= 130-90=40 тис. грн.;

регіон 2: R= 180-60=120 тис. грн.

Порівняння показників у нашому прикладі свідчить, що розмах варіації обсягу товарообігу вище в регіоні 2. Але він уловлює тільки крайні відхилення і не відбиває відхилень усіх варіант а ряду. Проте легкість обчислень і простота тлумачення обумовили широке застосування цього показника.

Щоб дати узагальнюючу характеристику розподілу відхилень, обчислюють середнє лінійне відхилення , що враховує розходження всіх одиниць досліджуваної сукупності. Середнє лінійне відхилення визначається як середня арифметична з відхилень індивідуальних значень від середньої, без урахування знака цих відхилень:

або

Регіон 1:

Регіон 2:

У нашому прикладі в регіоні 1 показники обсягу товарообігу більш однорідні, чим у регіоні 2. Середнє лінійне відхилення як міру варіації ознаки застосовують у статистичній практиці рідко. У багатьох випадках цей показник не встановлює ступінь розсіювання.

На практиці міру варіації більш об'єктивно відбиває показник дисперсії (середній квадрат відхилень), обумовлений як середня з відхилень, зведених у квадрат : -середній квадрат відхилень), обумовлений як середня з відхилень, зведених у квадрат :

Корінь квадратний із дисперсії середнього квадрата відхилень являє собою середнє квадратичне відхилення

і є узвичаєними мірами варіації ознаки.

Так, по регіоні 1 дисперсія склала:

і середнєквадратичне відхилення відповідно:

По регіоні 2:

Середнє квадратичне відхилення є мірилом надійності середньої. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим краще середня арифметична відбиває собою всю подаєму сукупність. Як бачимо, у регіоні 1 дисперсія і середнє квадратичне відхилення значно менше, ніж у регіоні 2, що також підтверджує велику надійність середньої в регіоні 1.

Дисперсія володіє поруч властивостей (доказуваних у математичній статистиці), що дозволяють спростити розрахунки.

1. Якщо з усіх значень варіант відняти якесь постійне число А, то середній квадрат відхилень від цього не зміниться.

2. Якщо всі значення варіант розділити на якесь постійне число А, то середній квадрат відхилень зменшиться від цього в раз, а середнє квадратичне відхилення — в А раз:

3. Якщо обчислити середній квадрат відхилень від будь-якої величини А, що у тієму або іншому ступеню відрізняється від середньої арифметичної , то він завжди буде більше середнього квадрата відхилень , обчисленого від середньої арифметичної.

Виходить, середній квадрат відхилень дорівнює середньому квадрату значень ознаки р мінус квадрат середнього значення ознаки , тобто .

Викладений засіб розрахунку дисперсії і середнього квадратичного відхилення називається засобом моментів, або засобом відліку від умовного нуля. Він застосовний за умови рівних інтервалів.

Використовуючи другу властивість дисперсії, розділивши усі варіанти на розмір інтервалу, получимо формулу

.

Використовуємо викладені вище властивості дисперсії для розрахунку показників по регіоні 2. Так, середня в даному прикладі дорівнює: Дисперсія і середнєквадратичне відхилення тис. грн. виражається в іменованих числах.

Середній розмір відбиває тенденцію розвитку, тобто дія головних причин (чинників), вимірює силу впливу інших чинників.

Показники відносного розсіювання. Для характеристики міри коливальності досліджуваної ознаки обчислюються показники коливальності у відносних розмірах.

1. Коефіцієнт осцілляції відбиває відносну коливальність крайніх значень ознаки навколо середньої.

У регіоні 2 різниця між крайніми значеннями на 14,3% перевищує середнє значення товарообігу на одне підприємство.

У той же час у регіоні 1 цей показник складає 38,1% середнього значення.

2. Відносне лінійне відхилення характеризує частку усередненого значення абсолютних відхилень від середнього розміру.

У регіоні 2 він склав 21,7% проти 5,3% у регіоні 1.

3. Коефіцієнт варіації.

тоді

З огляду на, що середнєквадратичне відхилення дає узагальнюючу характеристику коливальності усіх варіантів сукупності, коефіцієнт варіації є найбільше поширеним показником коливальності, використовуваним для оцінки типовості середніх розмірів. При цьому виходять із того, що якщо більше 40%, те це говорить о великій коливальності ознаки в досліджуваній сукупності. У нашому прикладі коефіцієнт варіації підтверджує велику коливальність товарообігу в регіоні 2.

Можна визначити три показника коливальності ознаки в сукупності: загальну дисперсію, міжгрупову дисперсію і середню з внутрішньогрупових дисперсій.

Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки, що залежить від всіх умов у даній сукупності. Обчислюється загальна дисперсія по формулі

де - загальна середня для всієї досліджуваної сукупності.

Міжгрупова дисперсія відбиває варіацію досліджуваної ознаки, що виникає під впливом ознаки-чинника, призначеного в основу угруповання. Вона характеризує коливальність групових (приватних) середніх біля загальної середньої . Міжгрупова дисперсія обчислюється по формулі

де - середня по окремих групах; - середня загальна; - чисельність окремих груп.

Середня з внутрішньогрупових дисперсій характеризує випадкову варіацію в кожній окремій групі. Ця варіація виникає під впливом інших, не що враховуються чинників і не залежить від умови (ознаки-чинника), покладеного в основу групування. Визначається вона по формулі

Загальна дисперсія дорівнює сумі розмірів міжгрупової дисперсії і середньої з внутрішньогрупових дисперсій:

Це правило (закон) додавання варіацій (дисперсій) має велику практичну значимість, тому що дозволяє виявити залежність результатів від визначальних чинників співвідношенням міжгрупової і загальної дисперсії (коефіцієнт детермінації):

Дисперсія альтернативної ознаки дорівнює творові частки одиниць, що володіють ознакою, і частки одиниць, що не володіють ім.

Наприклад, 10000 населення: 4000 чоловіків, 6000 жінок.

не може бути більше 1, pq не може бути більше 0,25.