
Ограниченные функции
Определение 8. Функция у = f(x) называется ограниченной, если область ее значений является ограниченным множеством. Иными словами, функция у = f(x), xX, ограничена, если существует число г>0 такое, что |f(x)|<r для всех хХ.
Геометрически это означает, что график функции у =f!(x) целиком лежит внутри полосы, ограниченной прямыми у= —r, у=r . Например, ограниченной является функция у=.
Иногда понятие ограниченности рассматривают в несколько более узком смысле.
Определение 9. Функция у = f(x), хХ называется ограниченной на промежутке Х1Х, если множество значений функции на промежутке Х1 ограничено.
Например, функция у =x2-6x+8 ограничена на отрезке [2, 4]. Во всей же области определения эта функция
не ограничена (она ограничена снизу, но не ограничена сверху).
№3
Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:
A x + B y = C ,
где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
. |
Квадратичная
функция. Это
функция: y = ax 2 + bx + c,
где a, b, c - постоянные, a
|
Степенная
функция. Это функция: y = axn,
где a , n –
постоянные. При n =
1 получаем прямую
пропорциональность: y = ax;
при n =
2 - квадратную
параболу;
при n = 1
- обратную
пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степеньлюбого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n =
0 степенная функция превращается в
постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая
линия, параллельная оси Х,
исключая начало координат ( поясните,
пожалуйста, почему ? ). Все
эти случаи
( при a = 1 ) показаны
на рис.13 ( n
0 )
и рис.14 ( n<
0 ). Отрицательные значения x здесь
не рассматриваются, так как тогда
некоторые функции:
Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.
При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой.
На
рис.16 представлена функция
. Эта функция
является обратной к квадратной
параболе y = x 2,
её график получается поворотом графика
квадратной параболы вокруг биссектрисы
1-го координатного углаЭто
способ получения графика любой обратной
функции из графика её исходной функции.
Мы видим по графику, что это двузначная
функция ( об
этом говорит и знак
перед квадратным корнем ). Такие
функции не изучаются
в элементарной
математике, поэтому в качестве функции
мы рассматриваем обычно одну из её
ветвей: верхнюю или нижнюю.
Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:
y = k / x ,
где k - постоянная величина.
График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью ( оконических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная,в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k.
Основные характеристики и свойства гиперболы:
- область определения функции: x 0, область значений: y 0 ;
- функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не
монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? );
- функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;
- нулей функция не имеет.