Расчет распределения температуры воды по глубине подо льдом слабопроточного водохранилища

После интенсивного ветрового перемешивания воды в водохранилище в 7 часов 1 декабря наблюдалось распределение температуры, показанное на рис.2 (изотермия). Рассчитать, через сколько часов (суток) температура поверхности воды в водоеме снизится до 0 С. Построить графики распределения температуры по глубине t = f (z) для отдельных моментов времени: для начального и конечного моментов времени, а также 2 – 3 моментов в промежутке расчетного периода.

Рис. 2. Начальное – 1 и расчетное (стационарное) – 2 распределение температуры по глубине водохранилища

Исходные данные

1) глубина водохранилища h;

2) начальная температура воды после ее перемешивания (в момент );

3) теплопритоком от грунта дна пренебрегаем ( );

4) теплоотдача с поверхности воды Вт/м².

Пояснения к задаче

В основе решения задачи лежит дифференциальное уравнение теплопроводности. Для решения этого уравнения целесообразно использовать метод конечных разностей (табличная форма решения). Расчетная формула этого метода (5.40) приведена в [1, с. 145], а также в пояснении к теме курсового проекта «Термический режим малопроточного водоема»данных методических указаний.

Порядок вычислений следующий. Прежде всего необходимо определить коэффициенты молекулярной температуропроводности воды . Он рассчитывается по соотношению

, (1)

где с и  – соответственно удельная теплоемкость и плотность воды находятся по таблицам 2.1 и 2.3 [1, с. 25 и 30], а коэффициент теплопроводности  по формуле (6.16) [1, с. 172].

Далее необходимо установить, на каких глубинах и для каких моментов времени будет производиться расчет температуры воды. Применительно к данной задаче целесообразно задать следующие интервалы по глубине:  = 0,25 м для глубины 4 – 5 м и = 0,5 м для глубины 6 – 10 м. Затем, используя условие Шмидта [1, с. 145], вычисляем интервалы времени .

Для дальнейшего расчета необходимо на основе исходных данных записать начальные и граничные условия. На нижней границе, т. е. границе раздела вода – грунт, температура воды постоянна в течение всего периода и равна (граничное условие I рода):

. (2)

На верхней границе водоема (на поверхности) задана плотность теплового потока от воды к воздуху . Это так называемое граничное условие II рода. Используя закон теплопроводности

, (3)

где – градиент температуры воды в приповерхностном слое, можно перейти к граничному условию I рода и на верхней границе водоема. Записывая в (3) , получаем температуру воды на поверхности водоема

. (4)

В этой формуле – температура воды на поверхности, т. е. при , а – температура воды на глубине 0 + z, которая вычисляется по расчетной формуле (5.40) [1] для каждого момента времени .

Параллельно с расчетом температуры на верхней границе следует вести расчет температуры воды на заданных глубинах z, 2z и т. д. в определенные моменты времени и т. д., где – начальный момент времени, за который, согласно условию задачи, принимается 7 часов 1 декабря. Вычисления удобно производить в табличной форме (см. табл. 6, см. также табл. 9). По результатам расчетов строятся графики распределения температуры по глубине для отдельных моментов времени. Для большей наглядности кривые следует построить в одних координатах с различными условными обозначениями (например, различными цветами).

Таблица 6

Расчет температуры методом конечных разностей

z	
				...
0	0	0	0	...	0
 z	1,40	0,70
2 z	1,40	1,40
3 z	1,40
.	.
.	.
.	1,40
h -  z	1,40	1,40
h	1,40

Задача 3