7.1.9. Изолированные особые точки
Напомним, что особой точкой функции называется точка, в которой функция не является аналитической.
Определение 20.
Пусть однозначная
аналитична в некоторой проколотой
окрестности точки
,
но не аналитична в точке
.
В этом случае точка
называется изолированной
особой точкой
функции
.
Определение 21.
Бесконечно удаленная точка называется
изолированной
особой точкой
функции
,
если
однозначная аналитическая функция в
некотором кольце
.
Если
– изолированная особая точка функции
,
то существует такое число R>0,
что в кольце
функция
будет аналитической и, следовательно,
разлагается в ряд Лорана (7.1.14):
Определение 22. Изолированная особая точка (конечная или бесконечная) функции называется
1) устранимой
особой точкой,
если существует конечный предел
;
2) полюсом,
если
;
3) существенно особой точкой, если предел не существует.
Изолированная особая точка является устранимой особой точкой для функции тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функции в окрестности особой точки равна нулю (т.е. равны нулю все коэффициенты главной части), т.е.:
а) для особой точки
:
;
б) для бесконечно
удаленной точки
:
Изолированная особая точка является полюсом для функции тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержит конечное (отличное от нуля) число ненулевых членов, т.е.:
а) для особой точки :
;
б) для бесконечно
удаленной точки
:
.
Изолированная
особая точка является существенно
особой точкой функции
тогда и только тогда, когда главная
часть ряда Лорана функции
в окрестности этой точки содержит
бесконечное число ненулевых членов с
отрицательными степенями
.
Определение 23.
Число m
(наибольшая из степеней слагаемых в
главной части ряда Лорана) называется
порядком
полюса.
При m
= 1 точку
называют еще простым
полюсом.
Точка является полюсом m – го порядка функции тогда и только тогда, когда функция представима в виде частного
,
где функция
аналитична в точке
.
Кроме того, точка
– полюс порядка m
функции
,
если
.
7.1.10. Вычеты
Определение 24. Пусть – изолированная особая точка функция , т.е. пусть функция – аналитическая в некотором круге , из которого исключена точка . Тогда число
res
(7.1.15)
называется вычетом функции в точке , где L – контур в круге , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку .
Если функция
разложена в ряд Лорана в окрестности
точки
:
,
то
res
.
Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки.
В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.
Определение 25. Пусть функция аналитична в некоторой проколотой окрестности U бесконечно удаленной точки. Вычетом функции в точке называется число
,
где
-
окружность достаточно большого радиуса,
целиком лежащая в U.
Обход контура и окружности производится
по часовой стрелке.
Теорема 8.
Если функция
аналитична на всей комплексной плоскости,
за исключением изолированных особых
точек
,
то
.
Теорема 9. (Основная теорема о вычетах). Пусть функция – аналитическая в односвязной области D за исключением некоторых изолированных особых точек z1, z2, …, zn, L – простая замкнутая кривая, целиком лежащая в D и не проходящая через особые точки функции . Тогда
res
Доказательство.
Вокруг каждой особой точки
опишем окружность
так, чтобы она целиком содержалась в
области D,
не содержала внутри других особых точек
и чтобы никакие две из этих окружностей
не имели общих точек (рис. 7.1.5).
Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области имеем:
,
где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрелки. Но согласно формуле (7.3.5), имеем:
res
,
res
,
……………………..
res
.
Следовательно,
res
res
,
т.е.
res
Рис. 7.1.5