7.1.2 Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Пусть однозначная функция определена в некоторой окрестности точки , исключая, может быть, саму точку . Под - окрестностью точки комплексной плоскости понимают внутренность руга радиуса с центром в точке .

Определение 3. Число называется пределом функции в точке , если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Записывают: .

Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции одного действительного переменного остаются справедливыми и для функции комплексного переменного. Так, если функции и имеют пределы в точке , то справедливы следующие свойства:

1)

2)

3) если

Определение 4. Пусть функция определена в точке и в некоторой ее окрестности. Функция называется непрерывной в точке z₀, если выполняется равенство

.

Это равенство эквивалентно следующим двум равенствам:

, .

Определение непрерывности можно сформулировать и так: функция непрерывна в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

.

Функция непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Модуль непрерывной функции комплексного переменного обладает теми же свойствами, что и непрерывная функция действительного переменного.

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. . Отсюда

, .

Функции , непрерывны на , следовательно, непрерывна на С.

7.1.3. Основные элементарные функции комплексного переменного

7.1.3.1. Показательная функция

Определение 5. Показательная функция определяется формулой

. (7.1.1)

Положив в этом равенстве y=0, устанавливаем, что для действительных значений z=x показательная функция совпадает с показательной функцией действительного переменного: .

Это определение имеет смысл для всех z и при этом сохраняется основное свойство экспоненты:

. (7.1.2)

Учитывая, что , а , утверждаем, что показательная функция нигде в нуль не обращается, т.е. .

Положив в равенстве (7.1.1) , , получим классическую формулу Эйлера .

Показательная функция комплексного переменного обладает специфическим свойством: она является периодической с мнимым основным периодом . Отметим, что не всегда больше нуля. Например, .

7.1.3.2. Логарифмическая функция

Определение 6. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной: число w называется логарифмом числа , если , обозначается Ln .

Так как значения показательной функции всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция Ln определена на всей плоскости z, кроме точки z=0. Отрицательные числа также имеют логарифмы, однако все их значения мнимые.

Положив , w=u+ iv, получим, согласно определению логарифмической функции, , или . Отсюда имеем: , , т.е. , ( ).

Следовательно,

Ln (7.1.3)

т.е.

Ln

или

Ln Arg , где Arg

Формула (7.1.3) показывает, что логарифмическая функция комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т.е. Ln - многозначная функция (единственным исключением является число «нуль», которое не имеет логарифма; можно условно писать, что Ln где v – произвольное).

Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (7.1.3) определенное значение k. Положив k=0, получим однозначную функцию, которую называют главным значением логарифма Ln и обозначают символом .

Определение 7. Выражение

,

где называется главным значением логарифма.

Если z – действительное положительное число, то и , т.е. главное значение логарифма действительного положительного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа.

Формулу (7.1.3) можно переписать так:

Ln

Из формулы (7.1.3) следует, что логарифмическая функция Ln обладает известными свойствами логарифма действительного переменного:

Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:

1) Ln Ln + Ln ;

2) Ln Ln -Ln ;

3) Ln n Ln ;

4) Ln Ln .