7.2.7 Линейные пространства
При построении метрических пространств мы сосредоточили внимание только на одном важном свойстве множества вещественных чисел – на наличии расстояния в нем. Если рассматривать алгебраические операции, определенные в множестве вещественных чисел, то можно прийти к понятию линейного пространства.
Пусть X - множество элементов некоторой природы, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. X – абелева группа относительно групповой операции сложения.
Это значит, что
определена сумма x+y
двух любых элементов
,
являющаяся элементом того же множества,
причем операция сложения обладает
следующими свойствами:
x+y=y+x – закон коммутативности;
x+(y+z)=(x+y)+z – закон ассоциативности;
Существует нулевой
элемент
такой, что
для любого x
из X.
Для каждого элемента
существует обратный элемент (-x)
того же пространства такой, что x+(-x)=0.
2. Определено
умножение элементов x,
y,
z,...
множества X
на вещественные (комплексные) числа
,
причем
является снова элементом множества X
и выполнены условия:
– закон
ассоциативности;
- закон дистрибутивности;
.
Множество X, удовлетворяющее аксиомам 1 и 2, называется линейным (или векторным) пространством. В зависимости от того, на какие числа, вещественные или комплексные, допускается умножение элементов множества X, мы получаем вещественное или комплексное линейное пространство.
Приведем примеры линейных пространств.
1. Совокупность
вещественных n-мерных
векторов образует вещественное линейное
пространство.
2. Совокупность комплекснозначных решений обыкновенного однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка образует комплексное линейное пространство.
3. Совокупность
элементов вещественного (комплексного)
класса
образует вещественное (комплексное)
линейное пространство.
4. В арифметическом
пространстве
элементы (действительные числа) можно
складывать и умножать на действительные
числа, не выходя за пределы пространства
:
если
,
то
,
где a
- действительное число.
5. В пространстве
непрерывных на отрезке
функций
в результате операций
вновь получаем непрерывные функции.
6. Пусть e - совокупность последовательностей таких, что .
Пусть
,
.
Покажем, что E - линейное векторное пространство.
Действительно,
,
.
Таким образом, элементы x+y и ax принадлежат E, если x и y принадлежат E. Проверка аксиом не представляет труда.
Рассмотрим множества, не являющиеся линейными пространствами.
1. Множество всех векторов пространства, за исключением векторов, коллинеарных некоторой прямой l (так как в пределах этого множества нельзя складывать векторы, симметричные относительно указанной прямой l).
2. Множество всех
многочленов степени, точно равной
натуральному числу n
(
таких
многочленов может оказаться многочленом
степени ниже n).
Множество всех многочленов степени, не превышающей натурального числа n, коэффициенты которых положительны (элементы такого множества нельзя умножить на отрицательные вещественные числа).
7.2.8. Норма и скалярное произведение
Если при построении пространств есть такие важные свойства множества вещественных чисел как наличие расстояния и наличие алгебраических операций, то можно прийти к определению нормированных пространств.
Определение 15.
Линейное пространство X
называется нормированным
пространством, если каждому элементу
x
этого множества поставлено в соответствие
вещественное число
- норма этого элемента, удовлетворяющая
трем аксиомам:
1.
,
норма любого элемента x
не отрицательна, причем
тогда и только тогда, когда x=0;
2.
,
3.
– неравенство треугольника.
Норма представляет
собой обобщение абсолютной величины
числа или длины вектора и играет такую
же роль в абстрактных пространствах.
Легко проверить, что нормированное
пространство будет также метрическим.
Для этого достаточно положить
.
Если расстояние определено по этой
формуле, то говорят, что оно согласовано
с нормой.
Расстояние, определяемое этой формулой, будет удовлетворять еще двум свойствам:
- однородность
расстояния;
- транзитивность.
Можно показать, что если расстояние какого-либо метрического пространства обладает однородностью и транзитивностью, то такое метрическое пространство можно сделать нормированным.
Примерами метрических пространств, расстояние которых обладает однородностью и транзитивностью, являются следующие пространства:
1.
,
,
;
2.
,
,
;
3.
,
;
4.
,
,
;
5.
,
,
;
6. m,
,
.
Рассмотрим примеры линейных нормированных пространств.
1. Множество
вещественных чисел является нормированным
пространством, если за норму в нем взять
абсолютную величину чисел, а также
линейное пространство n-мерных
векторов
с нормой
.
2. Линейное
пространство всех ограниченных
вещественных функций, определенных на
отрезке
,
превращается в нормированное, если в
нем ввести норму по формуле
.
Его нормированное подпространство
непрерывных на
функций обозначается
.
3. В линейном пространстве положим
.
4. В линейном
пространстве
положим
.
Определение 16.
Скалярное
произведение
элементов x
и y
вещественного линейного пространства
X
определяется как функция
,
принимающая вещественные значения и
удовлетворяющая условиям:
1.
,
;
2.
;
3.
;
4.
.
В случае комплексного
пространства вводятся небольшие
видоизменения. Во-первых, произведение
может принимать комплексные значения.
Во-вторых, аксиома
заменяется более общим требованием
,
где звездочка обозначает комплексное
сопряжение.
Скалярное произведение позволяет ввести в X норму
и в итоге – метрику
.
Скалярное произведение есть в следующих пространствах:
1.
.
Если
,
,
то
.
2.
.
,
3.
,
.
В других пространствах нельзя ввести норму, согласованную со скалярным произведением.
Теорема 10 (тождество параллелограмма). Пусть L – нормированное пространство. На L можно ввести скалярное произведение, согласованное с нормой тогда и только тогда, когда в L выполнено тождество параллелограмма:
.