7.1.7. Интегральная формула Коши

Теорема 4. Пусть функция – аналитична в односвязной замкнутой области D с кусочно – гладкой границей L. Тогда справедлива формула:

(7.1.9)

где z₀ – любая точка внутри области D, а интегрирование по контуру L производится в положительном направлении (против часовой стрелки) (рис. 7.1.4).

Рис. 7.1.4.

Интеграл в правой части равенства (7.1.9) называется интегралом Коши, а сама формула называется интегральной формулой Коши.

Формула Коши (7.1.9) является одной из важнейших в теории функции комплексного переменного. Она позволяет находить значения аналитической функции в любой точке , лежащей внутри области D через ее значения на границе этой области.

Уникальность ситуации, которую улавливает интегральная формула Коши, заключается в том, что (7.1.9) можно продифференцировать по параметру z₀ и получить

(7.1.10)

потом снова продифференцировать (7.1.9) по z₀, получить формулу для второй производной и так до бесконечности

В результате выявляется уникальная вещь. Аналитическая функция оказывается бесконечно дифференцируемой сама по себе, без каких бы то ни было дополнительных требований. Интеграл Коши дает наиболее простой ключ к пониманию этого факта. Функция в силу (7.1.9) определяется интегрированием самое себя, а поскольку интеграл обладает улучшающими свойствами (из непрерывной функции делает дифференцируемую), то обязана быть лучше, чем того можно ожидать. Выход из положения один – быть «бесконечно хорошей». Напомним при этом, что из дифференцируемости действительной функции не следует даже существования второй производной.

7.1.8. Ряды Тейлора и Лорана

Теорема 5. В окрестности каждой точки , где существует производная , функция может быть представлена сходящимся рядом

(7.1.11)

Ряд (7.1.11) называется рядом Тейлора функции в точке . Ряд Тейлора дифференцируемой в точке функции существует и сходится к самой функции. Заметим, что ряд Тейлора для действительной функции может сходиться к другой функции или быть расходящимся.

Как и в действительном анализе, для комплексной переменной вводятся понятия числового и степенного рядов, частичной суммы ряда, остатка ряда, радиуса и области сходимости, а также теорема Абеля, признаки Коши и Даламбера, необходимый признак сходимости ряда.

Пример 7. Найти область сходимости ряда .

Решение. . Отсюда .

Теорема 6. Всякая функция , аналитическая в круге , может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд

, (7.1.12)

коэффициенты которого вычисляются по формулам:

(7.1.13)

где L – произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри круга.

Определение 18. Степенной ряд (7.1.12) с коэффициентами вида (7.1.13) называется рядом Тейлора.

Определение 19. Точка называется нулем функции если .

Теорема 7. Всякая аналитическая в кольце функция может быть разложена в этом кольце в ряд

, (7.1.14)

коэффициенты которого определяются формулой

где L – произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри кольца.

Ряд такого вида называется рядом Лорана.

Можно доказать, что функция , аналитическая в данном кольце, разлагается в ряд Лорана единственным образом. При этом функция может быть представлена в виде суммы:

Ряд, определяющий функцию , называется правильной частью ряда Лорана, этот ряд сходится к аналитической функции внутри круга . Ряд, определяющий функцию , называется главной частью ряда Лорана и сходится к аналитической функции вне круга .

Если функция не имеет особых точек внутри круга , то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тейлора.