7.1.3.4. Тригонометрические функции

Определение 9. Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются равенствами

(7.1.4)

tg

ctg

При действительных z эти определения приводят к тригонометрическим функциям действительного переменного. Так, при z=x (y=0)

Вообще всякое новое определение не должно противоречить уже установленным фактам.

При этом, все основные формулы, имеющие характер тождественных равенств и справедливые для вещественных значений аргумента (такие, например, как , и т. п.), остаются в силе и для комплексных его значений.

На основе приведенных формул (7.1.4) вскрывается глубокая связь показательной функции с тригонометрическими: функции e^z, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (1743 г.):

.

С помощью формул (7.1.4) легко получить выражения степеней синуса и косинуса через тригонометрические функции кратных аргументов, например,

и т.п. Такое преобразование применяется при интегрировании.

Отметим, что тригонометрические функции sinz и cosz в комплексной плоскости z не ограничены: Так, например,

7.1.3.5. Гиперболические функции

Определение 10. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:

sh ch

th cth .

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

sh ch

th cth .

Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2i, а функции th z и cth z – период i.

Пример 4. Найти sin(1+2i).

=ch sh

7.1.3.6. Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Определение 11. Число w называется арксинусом числа z, если sinw=z и обозначается w=Arcsinz.

Используя определение синуса, имеем: или . Отсюда , т.е. (перед корнем можно не писать знак , так как имеет два значения). Тогда Ln или Ln . Аналогично определяются и другие обратные тригонометрические функции. Таким образом, обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:

Arccos Ln ,

Arcsin Ln ,

Arctg Ln , ,

Arcctg Ln ,

Функции, обратные гиперболическим, обозначаются соответственно w=Arshz (ареасинус), w=Archz (ареакосинус), w=Arthz (ареатангенс), w=Arcthz (ареакотангенс).

Arsh Ln ,

Arch Ln ,

Arth Ln , Arcth Ln .

Все эти функции многозначны.

Вывод: мы ввели понятия функции комплексного переменного, области ее определения и области значения, предела и непрерывности функции; а также сформулировали свойства предела функции. Рассмотрели показательную, логарифмическую, степенную, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, гиперболические функции; узнали свойства этих функций и их отличия от аналогичных вещественнозначных функций.

Определение производной функции комплексного переменного дается аналогично производной вещественной функции.

Определение 12. Производной от однозначной функции w= в точке z называется предел:

при произвольном стремлении к нулю.

Из дифференцируемости функции в некоторой точке z следует ее непрерывность в этой точке (отношение при может стремиться к конечному пределу лишь при условии, что и ). Обратное утверждение не имеет смысла.

Все свойства производной и все формулы дифференцирования, а также понятие производных высших порядков и основанные на нем формула и ряд Тейлора, введенные ранее для вещественной переменной, сохраняются без изменений.

Аналогично определяются производные основных функций, таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д.

Производные гиперболических функций определяются по формулам: