7.1.3.3. Степенная функция

Определение 8. Если n – натуральное число, то степенная функция определяется равенством Функция - однозначная.

Если , то в этом случае

где

Здесь функция есть многозначная (q-значная) функция. Однозначную ветвь этой функции можно получить, придав k определенное значение, например, k=0.

Если , то степенная функция определяется равенством

Функция - многозначная.

Степенная функция с произвольным комплексным показателем определяется равенством

Функция определена для всех и является многозначной функцией. Так, , где При k=0 имеем:

Рассмотрим подробнее функцию при , т.е. . Это двузначная функция. (Отметим распространенную ошибку: по аналогии с вещественными радикалами записывают эти два значения в виде и , забывая, что нет никакого «арифметического» значения корня из комплексного числа, и потому все равно надо уточнять, что такое ; подобным образом, без специального уточнения значений корней нельзя писать и т. п.) Так, при она принимает два значения: и . Остановимся на каком-то одном, например, , и будем, меняя , непрерывно продолжать значение . Пусть, например, точка проходит единичную окружность в положительном направлении, принимая положения , , ,… (рис. 7.1.2). Так как Arg Arg z, то соответствующая точка пойдет в два раза медленнее, и когда точка совершит полный оборот вокруг начала координат, придя в положение , точка совершит только пол-оборота и придет в положение . Таким образом, исходя из одного значения и непрерывно его продолжая, мы по необходимости приходим к другому значению . Если теперь точка совершит еще один обход вокруг начала координат, показанный на рис. 7.1.1 пунктиром, то соответствующая точка пройдет еще пол-оборота и придет к исходному значению .

Ясно, что аналогичная картина будет при любом обходе вокруг начала координат плоскости , не обязательно по окружности.

Разобранный пример, который является типичным, указывает на принципиальное различие многозначных функций комплексного переменного и вещественного переменного. Для многозначной функции вещественного переменного можно естественно ввести ее однозначные ветви: так, под всегда понимается «арифметическая ветвь» двузначной функции . В отличие от этого, значения многозначной функции комплексного переменного, как правило, настолько неразрывно связаны друг с другом, что непрерывно переходят одно в другое, когда независимая переменная совершает оборот вокруг определенных точек, называемых точками ветвления заданной функции. Для двузначной функции такой точкой в силу предыдущего является . Впрочем, точку также принято считать точкой ветвления этой функции, так как «совершить оборот вокруг бесконечности» - это значит обойти окружность большого радиуса с центром в конечной точке, а при этом, как и выше, значения непрерывно перейдут одно в другое.

Рис. 7.1.2

Аналогичным образом, функция , где , является -значной и имеет точки ветвления и , при обходе вокруг которых значения функции сменяют друг друга. После - кратного обхода вокруг точки ветвления все значения функции приходят к своим исходным; такая точка называется точкой ветвления порядка . Функция , где , а m - целое число, не имеющее общих делителей с , также имеет две точки ветвления и порядка . Таким образом, чем больше знаменатель, тем больше значений у функции и тем выше порядок точки ветвления. Функция , где иррациональное, является бесконечнозначной, и при обходе вокруг точек ветвления или эти значения сменяют друг друга, никогда не возвращаясь к исходному. Такие точки ветвления называются логарифмическими или точками ветвления бесконечного порядка.

Наличие точек ветвления является характерным свойством многозначной аналитической функции. Конечно, такая функция, как, например, , не имеет точек ветвления, но ее ветви и не переходят друг в друга при своем продолжении, т.е. она является не единой многозначной функцией, а скорее, в каком-то смысле объединением двух однозначных.

Для функций, заданных простыми формулами, точки ветвления обычно распознаются по обращению в нуль или в бесконечность выражений, стоящих под знаком радикала (точки конечного порядка) или логарифма (логарифмические точки). Рассмотрим, например, функцию

.

Это двузначная функция с точками ветвления, определяемыми из уравнения , откуда . Так как ее можно записать в виде , то если обойдет по маленькой окружности вокруг точки , а потому - вокруг нуля, первый множитель перейдет к новому значению, а второй останется, каким был, т.е. вся функция сменит значение. После вторичного обхода оба множителя, а потому и вся функция, вернутся к исходному значению; таким образом, точка и аналогично точка являются для функции точками ветвления второго порядка. Точка , хотя и обращает подкоренное выражение в бесконечность, не является для нашей функции точкой ветвления. В самом деле, эту функцию можно представить в виде

Если обходит большую окружность, то оба множителя, а потому и вся функция возвращаются к своим исходным значениям. Значит, в окрестности бесконечности здесь имеются две не связанные друг с другом ветви.