7.2.2. Примеры метрических пространств
Приведем примеры наиболее часто употребляющихся метрических пространств.
1. X – произвольное множество,
Выполнение аксиом 1)-3) очевидно.
2. Множество вещественных чисел (точек одномерного пространства), расстояние между элементами которого определяют по формуле
называется
пространством
.
Выполнение аксиом метрики 1)-3) очевидно.
3. Множество точек
n-мерного
пространства
,
расстояние между элементами которого
находят по формуле
,
будем называть
пространством
или n-мерным
евклидовым пространством. В частности,
при n=3
.
4. Пространство
непрерывных функций
.
Введем метрику, полагая
.
Расстояние в этом
пространстве означает максимальное
отклонение одной функции от другой.
Выполнение аксиом 1), 2) очевидно. Проверим
выполнение аксиомы треугольника. Для
любого
имеем:
Отсюда
5. Пусть
.
Введем понятие метрики иначе:
.
Замечание. Если оба пространства (примеры 4 и 5) составлены из одних и тех же элементов, но с различной метрикой, то и пространства следует считать различными.
6. Пространство
ограниченных вещественных функций
.
Пусть множество
ограниченных функций
задано на отрезке
.
Расстояние между элементами этого
множества определяют по формуле
.
Все аксиомы метрики выполняются.
7. Пространство
,
состоящее из n
раз непрерывно дифференцируемых на
отрезке
функций, расстояние между элементами
которого определяют по формуле
.
8. Множество
измеримых и суммируемых с p-й
степенью
функций, т. е. интеграл p-й
степени существует
и
,
называется
пространством
.
9. Пространство m
ограниченных (
)
числовых последовательностей
,
имеет метрику
.
10. Пространство
(координатное пространство Гильберта):
элементами служат числовые
последовательности, удовлетворяющие
условию
,
а метрикой – функция
.
11. Пространство
есть множество всех числовых
последовательностей
,
для которых ряд
сходится
и расстояние определяется по формуле
,
(при p=2 получаем гильбертово пространство).
Справедливость аксиом симметрии и тождества очевидна. Справедливость аксиомы треугольника вытекает из неравенства Минковского:
.
Положив в неравенстве
,
учтя его справедливость для любого n
и перейдя к
пределу, получим:
.
12. Пространство
есть множество всех измеримых функций
,
определенных на отрезке
,
для которых существует интеграл в смысле
Лебега:
,
метрика в
определяется формулой
.
13. Пространство
есть множество всех измеримых функций
,
определенных на отрезке
,
для которых существует интеграл в смысле
Лебега:
,
метрика в
определяется формулой
,
(в частности, при
p=2
получаем пространство
).
Для доказательства того, что расстояние, определенное в двух последних примерах, удовлетворяет всем аксиомам метрики, необходимо принять во внимание неравенство Минковского в интегральной форме:
.
7.2.3. Шары в метрическом пространстве
Если на множестве определено расстояние, то с его помощью можно описать геометрические объекты, например, шары или окрестности точек в смысле этого расстояния.
Определение 4. Открытым шаром с центром в точке А радиуса r называется множество
.
Определение 5. Замкнутым шаром с центром в точке А радиуса r называется множество
.
В пространстве
открытой сферой будет интервал
,
а замкнутой – отрезок
.
Для евклидова
расстояния
единичный шар с центром в нуле на
плоскости будет обычным кругом (рис.
7.2.1, а).
Построим единичный шар с центром в нуле для метрики
.
Точка С
тогда и только тогда принадлежит
единичному шару в этой метрике, когда
выполнено неравенство
.
Все такие точки принадлежат квадрату
(рис. 7.2.1, б). Единичным шаром с точки
зрения расстояния
по определению будет
,
т.е. тоже квадрат, но другой, со сторонами, параллельными осям (рис. 7.2.1, в).
а б в
Рис. 7.2.1