7.2.1. Метрические пространства
Из жизненного опыта известно, что в слова «расстояние между пунктами А и В» даже в повседневной жизни вкладывается различный смысл в зависимости от ситуации. Если летчик это расстояние скорее всего будет измерять вдоль прямой, то автомобилист будет считать расстоянием длину пути из А в В вдоль шоссейных дорог, которые могут существенно отклоняться от прямолинейного пути.
Обычное расстояние
между двумя точками
и
на плоскости определяется так: соединяем
эти точки отрезком и берем его длину за
расстояние между этими точками.
Математическая формула для этого
расстояния, обычно называемого евклидовым,
выглядит так:
.
Но легко привести
примеры, в которых более естественным
оказывается другое определение. Допустим,
мы находимся в городе с очень правильной
планировкой. В этом городе
прямоугольных кварталов, разделенных
n-1
горизонтальными и k-1
вертикальными улицами. В таком городе
разумно взять за расстояние между
пунктами А
и В
длину кратчайшего пути по улицам города.
Так понимаемое расстояние будет
естественным, например, с точки зрения
водителя, который не может проезжать
через дворы. Это расстояние определяется
следующим образом:
.
- Да это недалеко – десять минут ходу.
- Совсем близко – полторы остановки на трамвае.
- Почти рядом – пятьдесят рублей на такси.
Всюду здесь речь идет о расстоянии в самом прямом смысле слова. Способов измерения расстояния много. Как же смотрит математика на такое разнообразие? Ответ: рассматривая некоторое множество элементов, можно так определить расстояние между элементами, чтобы это наиболее соответствовало существу дела. Итак,
Определение 1. Множество, состоящие из элементов любой природы, для которого установлено понятие предельного перехода, называется абстрактным пространством.
Определение 2.
Множество Е
называется метрическим
пространством,
если каждой паре его элементов x
и y
поставлено в соответствие действительное
число
,
удовлетворяющее условиям (аксиомам):
1)
;
тогда и только тогда, когда x=y
(аксиома тождества);
2)
(аксиома симметрии);
3)
(неравенство треугольника).
Число называется метрикой или расстоянием между элементами x и y.
Пользуясь понятием расстояния, можно дать общее определение предела.
Определение 3.
Элемент x
метрического пространства X
называется пределом
последовательности элементов
из X,
если
при
.
В этом случае будем писать
или
и говорить, что
последовательность
сходится к x.
Теорема 1.
Если последовательность точек
метрического пространства Е сходится
к точке
,
то и любая подпоследовательность
последовательности
сходится к этой же точке.
Теорема 2. Подпоследовательность точек метрического пространства может сходиться не более чем к одному пределу.
Теорема 3.
Если подпоследовательность
точек из Е
сходится к точке
,
то числа
ограничены для любой фиксированной
точки
пространства Е.
Введение той или иной метрики в функциональных пространствах зависит от требований задачи. Когда имеется расстояние, то ясно, что близкими надо считать те элементы, расстояние между которыми мало. Иногда бывает естественным считать непрерывные функции близкими, если мал максимум модуля расстояния между ними. Если речь идет о функциях, имеющих производные порядка m, естественно считать близкими такие элементы x(t) и y(t), у которых при всех значениях t близки не только значения самой функции, но и значения их производных порядка m. В других случаях естественно считать функции x(t) и y(t) близкими, если они близки в интегральном смысле и т.д.
Таким образом, определение метрического пространства представляется достаточно гибким, чтобы удовлетворить самым разным конкретным запросам математического анализа.