4.5.3. Уравнение, не содержащее независимой переменной

Это уравнение имеет вид:

F(y, y,y,..., y⁽ⁿ⁾) = 0 (4.5.15)

Введем новую искомую функцию z по формуле:

y=z(y) (4.5.16)

и примем y за независимую переменную. Выразим y, y,…,y⁽ⁿ⁾ через функцию z и ее производные по y. Имеем:

,…,

. (4.5.17)

Поэтому уравнение (4.5.15) примет вид:

. (4.5.18)

Это уравнение порядка n  1. Если, решая его, мы найдем общее решение

z=(y,C₁, C₂,…,C_n1), (4.5.19)

то, возвращаясь к искомой функции у, получим уравнение:

y=(y,C₁, C₂,…,C_n1). (4.5.20)

Проинтегрировав его, найдем общий интеграл уравнения (4.5.15).

Особые решения уравнения (4.5.18) могут привести к особым решениям уравнения (4.5.15) в силу подстановки (4.5.16). Далее особые решения могут возникнуть вследствие интегрирования уравнения (4.5.20).

Наконец, мы могли потерять решения вида y = const, принимая y за независимую переменную. Поэтому нужно положить в уравнении (4.5.15) y = b. Будем иметь:

F(b,0,0,…,0) = 0. (4.5.21)

Если полученное уравнение имеет вещественные корни b = b_i, то уравнение (4.5.15) допускает решения вида y = b_i.

Пример. Дано уравнение

(1+y²)yy=(3y²1)y².

Полагая y=z и принимая y за независимую переменную, имеем: , так что данное уравнение примет вид:

.

Разделяя переменные, получим:

.

Отсюда, интегрируя, найдем:

или

.

Возвращаясь к функции y, получим:

.

Интегрируя еще раз, найдем общий интеграл

,

или

,

где A= 2C₁, B=C₂. Положим теперь в исходном уравнении y=b. Получим

(1+b²)b0=(3b²1)0.

Так как любое b удовлетворяет этому уравнению, то уравнение допускает семейство решений y=C, где C – произвольное постоянное число.

Лекция 4.6. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

4.6.1. Основные понятия и определения

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением, называется уравнение вида:

y⁽ⁿ⁾+p₁(x) y^(n1)+ p₂(x) y^(n2)+…+ p_n1 (x) y+ p_n(x)y=f(x). (4.6.1)

или уравнение более общего вида:

p₀(x) y⁽ⁿ⁾+p₁(x) y^(n1)+ p₂(x) y^(n2)+…+ p_n1 (x) y+ p_n(x)y=f(x). (4.6.1)

Если в уравнении (4.6.1) p₀(x)  0, то поделив на него, приходим к уравнению (4.6.1).

Предположим, что коэффициенты уравнения (4.6.1) p₁(x),…, p_n(x) и правая часть f(x) заданы и непрерывны в интервале (a,b). При этом предположении уравнение (4.6.1) имеет, единственное решение y = y(x), удовлетворяющее начальным условиям:

y = y₀, y = y₀,…, , при x = x₀.

где x = x₀ – любая точка из интервала (a,b), a y₀, y₀,…, , – любые заданные числа. Это решение определено и n раз дифференцируемо во всем интервале (a,b).

Особых решений линейное уравнение (4.6.1) не имеет. Всякое решение этого уравнения является частным решением.

Все сказанное относится, очевидно, и к линейному, уравнению вида (4.6.1).

Задачей настоящей лекции является выяснение специфических общих свойств решении линейных уравнений и структуры общего решения, а также рассмотрение основных методов построения общего решения.

Если f(x)  0 в интервале (a,b), то уравнение (4.6.1) или (4.6.1) называется однородным. В этом случае уравнение (4.6.1) принимает вид:

y⁽ⁿ⁾+p₁(x) y^(n1)+ p₂(x) y^(n2)+…+ p_n1 (x) y+ p_n(x)y =0. (4.6.2)

Если же f(x)≢0 в интервале (a,b), то уравнение (4.6.1) или (4.6.1) называется неоднородным.

В дальнейшем мы для сокращения записи введем в рассмотрение следующий линейный дифференциальный оператор:

L(y) y(n)+p1(x) y(n1)+ p2(x) y(n2)+…+ pn1 (x) y+ pn(x)y. (4.6.3)

Нетрудно убедиться, что оператор L(y) обладает следующими основными свойствами:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак оператора:

L(ky)=kL(y). (4.6.4)

2. Оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций:

L(y₁+y₂)=L(y₁)+L(y₂). (4.6.5)

Используя оператор (4.6.3), мы можем переписать неоднородное уравнение (4.6.1) в виде:

L(y) = f(x), (4.6.6)

а однородное уравнение (4.6.2) – в виде:

L(y) = 0. (4.6.7)

Определение 2. Функция y = y(x) называется решением неоднородного уравнения (4.6.1) в интервале (a,b), если оператор (4.6.3) от этой функции, L[y(x)], тождественно равен f(x) в интервале (a,b)

L[y(x)]  f(x) (a<x<b). (4.6.8)

Определение 3. Функция y = y(x) называется решением однородного уравнения (4.6.2), если

L[y(x)]  0 (a<x<b). (4.6.9)

Отметим два общих свойства линейного уравнения:

1. Инвариантность линейного уравнения относительно любого преобразования независимой переменной.

2. Инвариантность линейного уравнения относительно линейного преобразования искомой функции.

Об этих свойствах подробнее говорилось при рассмотрении линейного уравнения первого порядка.