4.4.2. Уравнения высших порядков. Основные понятия и определения

Рассмотрим теперь уравнение n-го порядка

F(x,y,y,y,…y⁽ⁿ⁾)=0. (4.4.19)

Будем предполагать функцию F такой, чтобы уравнение (4.4.19) было разрешимо относительно старшей производной:

y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y,y,…y^(n–1)). (4.4.20)

Если, функция F линейна относительно y, y, y, ..., y⁽ⁿ⁾, то это уравнение можно переписать в виде

y⁽ⁿ⁾+p₁(x) y^(n1)+ p₂(x) y^(n2)+…+ p_n1 (x) y+ p_n(x)y=f(x). (4.4.21)

Уравнение такого вида называется линейным уравнением, которые мы рассмотрим позже.

Определение 2. Всякая функция y = y(x), определенная и непрерывно дифференцируемая n раз в интервале (a, b), называется решением уравнения (4.4.19) в этом интервале, если она обращает уравнение (4.4.19) в тождество

F[x,y(x),y(x),…y⁽ⁿ⁾(x)]0. (4.4.22)

справедливое при всех значениях x из интервала (a, b).

Для уравнения (4.4.20) задача Коши ставится следующим образом. Требуется среди всех решений уравнения (4.4.20) найти решение

y=y(x), (4.4.23)

в котором функция y(x) вместе с ее производными до (n  1)-го порядка включительно принимает заданные значения y₀, y₀, … при заданном значении x₀ независимой переменной x, т. е.

y(x₀) = y₀, y(x₀) = y₀,…, , (4.4.24)

где x₀, y₀, y₀,… – заданные числа, так что решение удовлетворяет условиям:

y(x₀) = y₀, y(x₀) = y₀,…, , при x = x₀. (4.4.25)

Числа y₀, y₀,… называются начальными значениями решения (4.4.23), число x₀ – начальным значением независимой переменной, числа x₀, y₀, y₀,… вместе взятые называются начальными данными решения (4.4.23), а условия (4.4.25) – начальными условиями этого решения.

При рассмотрении задачи Коши для уравнения n-го порядка (4.4.20), так же как и в случае уравнения первого порядка, возникают вопросы существования и единственности решения задачи Коши.

Достаточное условие существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка распространяется и на случай уравнения n-го порядка. А именно можно доказать, что для существования (непрерывного вместе с производными до порядка n включительно) решения задачи Коши для уравнения (4.4.20) достаточно предположить, что правая часть этого уравнения непрерывна в окрестности начальных данных (теорема Пеано).

Приведем без доказательства основную теорему существования и единственности (теорему Пикара) для уравнения (4.4.20).

Теорема. Пусть дано уравнение (4.4.20),

y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y,y,…y^(n–1)).

и поставлены начальные условия (4.4.25):

y(x₀) = y₀, y(x₀) = y₀,…, , при x = x₀.

Предположим, что функция f(x,y,y,y,…y^(n–1)) определена в некоторой замкнутой ограниченной области

R: , , ,…,

с точкой (x₀, y₀, y₀,…, ) внутри (a и b – заданные положительные числа) и удовлетворяет в этой области следующим двум условиям:

1. Функция f(x,y,y,y,…y^(n–1)) непрерывна по всем своим аргументам и, следовательно, ограничена, т. е.:

(4.4.26)

где M – постоянное положительное число, а (x,y,y,y,…y^(n–1)) – любая точка области R;

2. Функция f(x,y,y,y,…y^(n–1)) имеет ограниченные частные производные по аргументам, y,y,y,…y^(n–1) т. е.

(l=0,1,…,n1; y⁽⁰⁾  y),

где К – постоянное положительное число, а (x,y,y,y,…y^(n–1)) – любая точка области R.

При этих предположениях уравнение (4.4.20) имеет единственное решение (4.4.23)

y=y(x),

удовлетворяющее начальным условиям (4.4.25). Это решение заведомо определено и непрерывно вместе с производными до порядка n включительно в интервале

(4.4.27)

где

. (4.4.28)

Из этой теоремы следует, что, если правая часть уравнения (4.4.20) есть полином от своих аргументов, то какие бы начальные данные ни взять, существует единственное решение уравнения (4.4.20) с этими начальными данными.

Сформулированная задача Коши является лишь одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений, в которых ищется решение, подчиненное некоторым условиям. Другой не менее важный тип таких задач представляет собой так называемые граничные (краевые) задачи, в которых условия, налагаемые на искомое решение, задаются не в одной точке, как это имеет место в задаче Коши, а на концах некоторого интервала [a, b] и ищется решение, определенное внутри этого интервала. Эти условия называются граничными (краевыми) условиями.

Граничные задачи, могут ставиться, очевидно, лишь для уравнений порядка выше первого, ибо как мы уже, говорили в случае уравнения первого порядка, задание значения искомого решения в одной точке уже определяет (при некоторых условиях) интегральную кривую единственным образом, и эта интегральная кривая может удовлетворять граничному условию в другой точке лишь случайно.

Заметим, что граничная задача не всегда имеет решение, а если имеет, то, весьма часто, не единственное.

Пример. Найти решение уравнения

y=6x,

удовлетворяющее граничным условиям:

Интегрируя последовательно уравнение имеем:

Подставив сюда граничные условия получим, что C₁=0, C₂=0, так что искомым решением будет

y=x³.

Других решений нет.

Определение 3. Функцию

y = (x,C₁, C₂,…, C_n), (4.4.29)

определенную в некоторой области изменения переменных x, C₁ C₂,… C_n, имеющую непрерывные частные производные по x до порядка n включительно, будем называть общим решением уравнения (4.4.20) в области D (в качестве области D мы будем рассматривать область в пространстве (x,y,y,…y^(n–1)), в каждой точке которой имеет место существование и единственность решения задачи Коши для уравнения (4.4.20)), если система уравнений

(4.4.30)

составленная из равенства (4.4.29) и n1 равенств, полученных последовательным дифференцированием его по x, разрешима относительно произвольных постоянных C₁,C₂,…,C_n в области D, так что при любых значениях x,y,y,…y^(n–1), принадлежащих области D, системой (4.4.30) определяются значения C₁,C₂,…,C_n по формулам:

(4.4.31)

и если функция (4.4.29) является решением уравнения (4.4.20) при всех значениях произвольных постоянных C₁,C₂,…,C_n, доставляемых формулами (4.4.31), когда точка (x,y,y,…y^(n–1)) пробегает область D.

Формула общего решения (4.4.29) дает возможность за счет выбора соответствующих значений произвольных постоянных C₁,C₂,…,C_n решить любую задачу Коши для уравнения (4.4.20) в области D.

Иногда в формуле общего решения (4.4.29) роль произвольных постоянных C₁,C₂,…,C_n играют начальные значения y₀, y₀,…, искомой функции y и ее первых n1 производных y₀,…, при некотором фиксированном значении x₀ аргумента x, так что формула (4.4.29) принимает вид

(4.4.32)

Такая форма записи общего решения называется общим решением в форме Коши.

В большинстве случаев, интегрируя уравнение (4.4.20), получаем общее решение (n – параметрическое семейство интегральных кривых) в неявном виде (в виде, не разрешенном относительно y).

Определение 4. Общее решения уравнения (4.4.20) в неявном виде (в виде, не разрешенном относительно y) в области D:

Ф (x, y, C₁, C₂,...,C_n) = 0 (4.4.33)

называется общим интегралом этого уравнения, если это соотношение определяет общее решение y = (x,C₁, C₂,…, C_n) уравнения (4.4.20) в области D.

В некоторых случаях нахождение общего решения уравнения (4.4.20) в явной или, неявной форме представляет большие затруднения. В таких случаях интегрируя дифференциальное уравнение (4.4.20), ищут семейство интегральных кривых, зависящее от n произвольных постоянных C₁, C₂,…, C_n в параметрическом виде

(4.4.34)

Такое семейство интегральных кривых мы будем называть общим решением уравнения (4.4.20) в параметрической форме.

Если из уравнений (4.4.34) удается исключить параметр t, то получают общее решение в неявном или даже в явном виде.

Определение 5. Если решение уравнения (4.4.20) состоит только из точек единственности решения задачи Коши для этого уравнения, то такое решение называется частным решением.

Решение, получающееся из формулы общего решения при частных числовых значениях произвольных постоянных C₁, C₂,…, C_n будет, очевидно, частным решением. Решая задачу Коши при помощи формулы общего решения, мы всегда получаем частное решение.

Определение 6. Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением.

Уравнение n-го порядка (4.4.20) может иметь семейство особых решений, зависящее от произвольных постоянных, причем число последних может доходить до n1.

Пример. Рассмотрим уравнение

.

Полагая y=z, (где z – новая неизвестная функция) получим:

.

Это уравнение имеет общее решение z=(x+C₁)² (x>C₁).

Заменяя z на y, имеем: y=(x+C₁)² (x>C₁).

Интегрируя это уравнение, получим общее решение исходного уравнения в виде: .

Уравнение имеет особое решение z=0.Заменяя в нем z на y и интегрируя получим еще семество решений исходного уравнения в виде

y=C.

Каждое из них является особым.