Лекция 4.5. Уравнения, инегрируемые в квадратурах и уравнения, допускающие понижение порядка

4.5.1. Уравнение, содержащее только независимую переменную и производную порядка n

Если уравнение порядка n может быть написано в виде

y⁽ⁿ⁾=f(x), (4.5.1)

где функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), то она легко интегрируется в квадратурах.

Действительно, так как y⁽ⁿ⁾ = [y^(n1)], то мы можем переписать уравнение (4.5.1) так:

[y^(n1)] = f(x)

откуда:

, (4.5.2)

где C₁ – произвольная постоянная, а x₀ – любое фиксированное число из промежутка (a, b).

Аналогичными рассуждениями находим:

, (4.5.2₁)

(4.5.2₂)

………………………………………………………………………………

(4.5.2_n–2)

(4.5.2_n–1)

Последняя формула содержит в себе все решения уравнения (4.5.1) и дает общее решение этого уравнения в области

a<x<b, <y<, <y<,…,<y^(n1)<. (4.5.3)

Она позволяет найти решение с любыми начальными значениями искомой функции и ее производных до (n  1)-го порядка включительно:

y=y₀, y=y₀,…y^(n3)= , , (4.5.4)

при x = x₀, где x₀ принадлежит интервалу (a, b). Для определения соответствующих значений произвольных постоянных в формулах (4.5.2), (4.5.2₁),…,( 4.5.2_n–1) соответственно

, ,…, y=y₀, y=y₀

и вместо x подставим всюду число x₀. Тогда получим:

, ,…, y₀=C_n1, y₀=C_n. (4.5.5)

Подставив эти значения произвольных постоянных в (4.5.2_n–1), мы и найдем искомое решение:

(4.5.6)

Если в полученной формуле считать y₀, y₀,…, произвольными постоянными числами, то она представляет собою общее решение уравнения (4.5.1) в области (4.5.3).

Здесь роль произвольных постоянных играют начальные значения искомой функции и ее производных до порядка n  1 включительно, так что, при сделанном предположении, (4.5.6) является общим решением в форме Коши.

Общее решение уравнения (4.5.1) можно также найти последовательным интегрированием этого уравнения, взяв вместо определенных интегралов с переменным верхним пределом неопределенные интегралы.

Будем иметь:

(4.5.2)

(4.5.2₁)

(4.5.2₂)

………………………………………………………….

(4.5.2_n–1)

4.5.2. Уравнение, не содержащее искомой функции и последовательных первых производных

Далее мы рассмотрим несколько типов уравнений, допускающих понижение порядка.

Пусть дано уравнение вида

F(x,y^(k),y^(k+1),…,y⁽ⁿ⁾)=0 (1  k  n) (4.5.7)

причем производная k-го порядка обязательно входит в уравнение.

Введем новую неизвестную функцию z, положив

y^(k)=z. (4.5.8)

Тогда уравнение (4.5.7) перепишется так:

F(x,z,z,…,z^(nk))=0. (4.5.9)

Это уравнение (nk)-го порядка. Нам удалось, таким образом, понизить порядок уравнения (4.5.7) на k единиц. Предположим, что, решая полученное уравнение, мы найдем его общее решение

z=(x,C₁,…,C_nk). (4.5.10)

Тогда мы имеем:

y^(k)=(x,C₁,…,C_nk). (4.5.11)

Мы получили уравнение уже рассмотренного выше типа. Интегрируя его, получим еще k произвольных постоянных:

y=(x,C₁, C₂,…,C_n). (4.5.12)

Если вместо общего решения (4.5.10) мы получаем общий интеграл

(x,z,C₁,…,C_nk)=0, (4.5.13)

то заменяя z его значением из подстановки мы приходим к уравнению

(x,y^(k),C₁,…,C_nk)=0, (4.5.14)

Это уравнение того же типа, что и уравнение (4.5.1). Интегрируя его мы получим его общее решение при помощи k квадратур, которые введут еще k произвольных постоянных.