4.3.2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)

Будем искать решение уравнения (4.3.1) в том же виде, что и общее решение (4.3.23) соответствующего однородного уравнения (4.3.20), но будем считать C не постоянной, а некоторой непрерывно дифференцируемой функцией от x, т. е. положим

(4.3.27)

и выберем функцию C(x) так, чтобы (4.3.27) удовлетворяло уравнению (4.3.1). Подставляем (4.3.27) в (4.3.1):

откуда:

Следовательно

(4.3.28)

где C – произвольная постоянная. Подставляя это значение C(x) в формулу (4.3.27), получим:

(4.3.29)

Это есть решение уравнения (4.3.1) по построению и притом общее в полосе (4.3.25), так как она имеет структуру (4.3.20).

Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения (4.3.1) всегда может быть найдено двумя квадратурами.

Замечание. Общее решение неоднородного линейного уравнения (4.3.1) можно найти также следующим методом, принадлежащим Эйлеру.

Умножим обе части уравнения (4.3.1) на функцию

. (4.3.30)

Получим уравнение

, (4.3.31)

в котором левая часть есть точная производная от функции

, (4.3.32)

так что мы можем переписать это уравнение в виде

_. (4.3.33)

Откуда

(4.3.34)

и, следовательно,

Мы получили тот же вид общего решения, что и при применении метода Лагранжа.

Функция (4.3.30) называется интегрирующим множителем линейного уравнения (4.3.1), а изложенный метод Эйлера – методом интегрирующего множителя.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

.

Найдем его решение методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее однородное уравнение имеет общее решение z=Cx².

Ищем общее решение данного неоднородного уравнения в виде

y=C(x)x².

Подставляя его в уравнение имеем:

или

,

откуда

.

Оканчательно получим:

.

Это и есть общее решение уравнение.

Проинтегрируем это уравнение методом интегрирующего множителя. Имеем:

_{Умножая обе части уравнения на приведем его к виду}

_,

_откуда

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения xy+2x²y=1, пользуясь формулой общего решения (4.3.29).

Имеем:

p(x)=2x, q(x)=1/x.

Подставляя в формулу (4.3.29) получим:

или

.

4.3.3. Уравнение Бернулли

Определение 3. Уравнение вида

y+p(x) y = q(x)y^m (4.3.35)

где m  любое вещественное число, называется уравнением Бернулли.

Будем считать, что m отлично от 0 и 1, ибо в этих случаях уравнение Бернулли вырождается в линейное. Относительно функций p(x) и q(x) будем предполагать, что они непрерывны в интервале (a, b).

Уравнение Бернулли всегда может быть сведено к линейному уравнению. В самом деле, преобразуем сначала правую часть уравнения Бернулли к виду правой части линейного уравнения. Для этого разделим обе части уравнения (4.3.35) на y^m:

y^m y+p(x) y^1m = q(x) (y^m=0?) (4.3.36)

Введем теперь новую неизвестную функцию z, положив

. (4.3.37)

Тогда

(1m)y^my=z. (4.3.38)

Поэтому, умножая обе части уравнения (4.3.36) на 1m и выполняя подстановку (4.3.37), приходим к линейному уравнению

z + (1m)p(x)z = (1m)q(x) (4.3.39)

Интегрируя это уравнение и возвращаясь к переменной y, получим общее решение уравнения Бернулли в виде

(4.3.40)

Деля уравнение (4.3.35) на y^m, теряем решение y = 0. Очевидно, что это могло случиться лишь при m > 0. Поэтому решение y = 0 также является решением уравнения (4.3.35), которое не содержится в формуле общего решения (4.3.40).

В качестве простейших примеров, иллюстрирующих сказанное, могут служить уравнения y = y² и . Для первого из них решение y=0 – частное, для второго – особое.

Пример. Найти решение уравнения

.

Это – уравнение Бернулли. Деля обе части на y², имеем:

.

Полагая

y^1=z,

получим:

Интегрируя это (линейное) уравнение, находим:

Следовательно,

.

Решениями будут также полуоси оси Ox: y=0 (x0).