4.2.3 Уравнение с разделяющимися переменными

Определение 1. Уравнение

X(x)dx+Y(y)dy=0 (4.2.7)

в котором коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy – только от y называется уравнением с разделенными переменными.

Будем предполагать, что функции X(x) и Y(y) непрерывны при всех рассматриваемых значениях x и y. Тогда уравнение (4.2.7) можно переписать так

(4.2.8)

Поэтому

. (4.2.9)

Это есть общий интеграл уравнения (4.2.7). Особых решений нет.

Определение 2. Уравнение вида

m(x) n(y)dx + m₁(x) n₁(y)dy = 0, (4.2.10)

в котором коэффициенты при dx и dy представляют собою произведения функции от x на функцию от y называется уравнением с разделяющимися переменными.

Относительно функций m(x), n(y), m₁(x) и n₁(y) будем предполагать, что они непрерывны при всех рассматриваемых значениях x и y.

Умножая обе части уравнения (4.2.10) на

,

получим уравнение с разделенными переменными:

. (4.2.11)

Его общим интегралом, а следовательно, и общим интегралом уравнения (4.2.10) будет

. (4.2.12)

Разделяя переменные, мы делили обе части уравнения (4.2.10) на n(y)m₁(x). При этом мы могли потерять решения, определяемые уравнениями n(y) = 0 и m₁(x) = 0, отмеченными в формуле (4.2.11) в скобках. В самом деле, если b есть (вещественный) корень уравнения n(y) = 0, то, полагая в (4.2.10) y = b, получим тождество

m(x) n(b)dx + m₁(x) n₁(b)dy  0, (4.2.13)

Следовательно, y = b есть решение уравнения (4.2.10). Аналогично убеждаемся, что x = a, где a – корень уравнения m₁(x) = 0 тоже является решением уравнения (4.2.10). Если эти решения не получаются из (4.2.12) при частных числовых значениях C, то они представляют собой особые решения уравнения (4.2.10).

Пример. Проинтегрировать уравнение

.

Разделяя переменные имеем:

(x=1, y=1?)

Отсюда следует, что

есть общий интеграл. Все решения

примыкающие соответственно к точкам (1,1), (1,1); (1,1), (1,1); (1,1), (1,1); (1,1), (1,1) являются особыми, так как они не получаются из формулы общего интеграла ни при каких числовых значениях произвольной постоянной и на каждом из них нарушается единственность решения задачи Коши.

В заключение отметим, что рассмотренные выше уравнения вида y = f(x), y = f(y), X(x)dx + Y(y)dy = 0 можно считать частными случаями уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными является одним из основных типов уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной и допускающих интегрирование в квадратурах.

Многие дифференциальные уравнения приводятся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи соответствующей замены искомой функции и независимой переменной. Далее мы рассматриваем два наиболее важных типа таких уравнений.

4.2.4. Однородное уравнение

Определение 3. Уравнение

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (4.2.14)

в котором M (x, y) и N (x, y) однородные функции,одно и и той же степени m, причем m может быть любым вещественным числом, называется однородным.

Определение 4. Функция f(x, y) называется однородной функцией степени m, если при всяком t имеет место тождество

f(tx, ty) = t^mf(x, y). (4.2.15)

Полагая в тождестве (4.2.15) , получим:

(4.2.16)

откуда

. (4.2.17)

Поэтому, мы можем переписать уравнение (4.2.14) в виде

. (4.2.18)

В самом деле, мы имеем:

.

Чтобы проинтегрировать однородное уравнение (4.2.14), сделаем замену искомой функции y по формуле:

y=zx, (4.2.19)

где z – новая искомая функция от x. Будем иметь:

M(x, zx) dx + N (x, zx) (zdx + xdz) = 0. (4.2.20)

Но, так как

, (4.2.21)

то (полагая y = zx) имеем:

M(x, zx) = x^mM (1, z), N (x, zx) = x^mN (1, z). (4.2.22)

Поэтому уравнение (4.2.20) можно переписать так:

x^mM(l, z)dx + x^mN(l, z) (zdx + xdz) = 0 (4.2.23)

или (сокращая на x^m и группируя оставшиеся члены)

[M(l, z) + N(l, z) z] dx + xN (1, z) dz = 0 (x = 0?). (4.2.24)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим:

(4.2.25)

Интегрируя, находим:

, (4.2.26)

, (4.2.27)

так что

, (4.2.28)

где

.

Заменяя в (4.2.28) z на , получим общий интеграл уравнения (4.2.14) в виде:

. (4.2.29)

Разделяя переменные в уравнении (4.2.24), мы могли потерять решения вида z=a, где a – корень уравнения

M(l, z) + N(l, z) z = 0. (4.2.30)

Подставив эти значения в формулу (4.2.19) найдем, что

y=ax (x0) (4.2.31)

решения однородного уравнения. Эти решения могут содержаться в формуле общего интеграла, но могут быть и особыми. Особыми решениями могут быть также полуоси оси Оу: x = 0 (y0). Других особых решений быть не может.

Пример. Рассмотрим уравнение

.

Заметим, прежде всего, что интегральными кривыми могут быть только кривые, расположенные в первом и третьем квадрантах, и полуоси осей координат, ибо x и y не могут иметь противоположных знаков.

Положим y=zx. Получим:

.

Интегрируя, найдем:

или

, .

Возвращаясь к переменной y, получим:

откуда

Рассмотрим уравнение . Оно имеет корни z₁=0, z₂=1. Им соответствуют решения y=0 (x0) и y=x (x0). Первые из них – особые, вторые – частные. Полуоси оси Oy: x=0 (y0) тоже является решениями. Эти решения – особые.