4.2.1. Уравнение, не содержащее искомой функции
Рассмотрим уравнение
, (4.2.1)
в котором правая часть не зависит от искомой функции. Это есть простейшее дифференциальное уравнение первого порядка. Предположим, что функция f(x) непрерывна в интервале (a, b). Тогда функция
(4.2.2)
является общим решением уравнения (4.2.1) в области
a<x<b, <y<. (4.2.3)
Особых решений нет.
Если правая часть уравнения (4.2.1) непрерывна во всех точках интервала (a, b) за исключением одной точки x = , в которой она обращается в бесконечность, то в окрестности этой точки вместо уравнения (4.2.1) нужно рассматривать перевернутое уравнение
(4.2.1)
Вертикальная прямая x = является, очевидно, решением этого уравнения. Согласно сказанному выше, мы должны присоединить это решение к решениям уравнения (4.2.1).
Решение x = может быть или частным или особым, в зависимости от того, сохраняется или нарушается в каждой точке этого решения единственность решения задачи Коши.
Пример. Рассмотрим уравнение
.
Правая часть этого уравнения непрерывна при всех x, кроме x=0 функция
будет общим решением уравнения в каждой из областей
<x<0, <y< и 0<x<, <y<.
Рассмотрим прямую x=0. Она является решением перевернутоко уравнения:
.
Это решение – частное, ибо в каждой точке его выполныется единственность решения задачи Коши.
4.2.2. Уравнение, не содержащее независимой переменной
Рассмотрим уравнение
, (4.2.4)
правая часть которого не содержит независимой переменной x. Предположим, что функция f(y) определена и непрерывна в интервале (c,d).
Обратимся к перевернутому уравнению
. (4.2.4)
Это уравнение не содержит искомой функции x и, следовательно, к нему применимо все сказанное в предыдущем пункте.
Можно и непосредственно получить результат без обращения к перевернутому уравнению (4.2.4). Нужно только следить за тем, чтобы в процессе интегрирования не терять решений.
Разделим обе части уравнения (4.2.4) на функцию f(y):
[f(y)=0?]. (4.2.5)
В скобках мы указываем для памяти то уравнение, которое следует рассмотреть после интегрирования уравнения (4.2.5), ибо, деля обе части уравнения (4.2.4) на f(y), мы могли потерять те решения этого уравнения, которые обращают делитель f(y) в нуль.
Интегрируя уравнение (4.2.5), получим общий интеграл
(4.2.6)
Рассмотрим теперь уравнение f(y) = 0. Если оно имеет вещественное решение (одно или несколько) вида y = , то прямая y = всегда будет решением уравнения (4.2.4). Остается только проверить, каким будет это решение, частным или особым.
Пример. Пусть дано уравнение
.
Правая часть этого уравнения определена и непрерывна при всех значениях y, кроме y=0, и не обращается в нуль. При y=0 она обращается в бесконечность. Поэтому через каждую точку плоскости (x,y) проходит единственная интегральная кривая, но в точках оси Ox касательные к интегральным кривым параллельны оси Oy. Действительно, интегрируя уравнение, имеем:
2ydy=dx, y2=x+C.
Найденный общий интеграл представляет собою семейство парабол, для которых осью симметрии является ось Ox. Касательные в вершинах параллельны оси Ox.