4.8.3. Линейные системы дифференциальных уравнении с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему уравнений:

(k=1,2,…n), (4.8.42)

где коэффициенты a_kj (k, j=1,2,...,n) – постоянные вещественные числа, a f_k(x) (k=l, 2,...,n) – функции от x, непрерывные в интервале (a, b).

Так как интегрирование неоднородной линейной системы приводится к интегрированию соответствующей однородной системы, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородной системы:

(k=1,2,…n), (4.8.43)

Для построения общего решения системы (4.8.43) достаточно построить хоть одну фундаментальную систему решений.

По аналогии с однородным, линейным уравнением с постоянными коэффициентами будем искать частное решение системы (4.8.43) в виде

y₁=₁e^x, y₂=₂e^x,…,y_n=_ne^x, (4.8.44)

где ₁, ₂,…, _n и  – некоторые постоянные числа, причем числа ₁, ₂,…, _n не равны нулю одновременно, ибо в противном случае мы получили бы очевидное нулевое решение, которое не может входить в состав фундаментальной системы и, следовательно, не может быть использовано для построения общего решения.

Обратим особое внимание на то, что число  мы берем одно и то же для всех функций, составляющих решение.

Подставляя функции (4.8.44) в систему (4.8.43), сокращая на e^x и перенося все члены направо, получим для определения чисел ₁, ₂,…, _n следующую систему:

(4.8.45)

Нас интересует ненулевое решение этой системы. Такое решение существует лишь при условии, что определитель системы равен нулю, т. е. при условии

(4.8.46)

Уравнение (4.8.46) называется характеристическим уравнением системы (4.8.43), его корни – характеристическими числами, а определитель () – характеристическим определителем.

Рассмотрим сначала случай, когда все характеристические числа ₁, ₂,...,_n различны и вещественные. В этом случае имеем: (_i) = 0, но (_i) ≠ 0 (i=1,2,…n). Вследствие этого ранг матрица составленной из коэффициентов системы

(4.8.47)

которая получается из системы (4.8.45) после замены в ней  на _i равен n  1.

Поэтому одно из уравнений системы (4.8.47) есть следствие остальных и эта система имеет ненулевое решение, определенное с точностью до произвольного множителя пропорциональности A_i:

_i1=A_im_i1, _i2=A_im_i2,…, _in=A_im_in (i=1,2,…n). (4.8.48)

Например, в качестве _ik можно взять алгебраические дополнения элементов любой строки определителя (_i), если не все они равны нулю. Фиксируя в формулах (4.8.48) множитель A_i мы получим определенное решение системы (4.8.47).

Подставляв теперь в (4.8.44) вместо  последовательно характеристические числа _i, а вместо ₁, ₂,…, _n – соответствующие им решения системы (4.8.47), определяемые формулами (4.8.48) при фиксированных множителях A_i, получим n решений:

(4.8.49)

Эти решения линейно независимы в интервале (, + ).

Если при этом все корни ₁, ₂,…,_n вещественны, то все решения (4.8.49) тоже будут вещественными.

Таким образом, в случае различных вещественных корней характеристического уравнения система (4.8.43) имеет n вещественных линейно независимых частных решений вида (4.8.49), так что последние образуют фундаментальную систему решений.

Поэтому, формулы

(4.8.50)

дают общее решение системы (4.8.43) в области

(4.8.51)

Если характеристические числа различные, но среди них есть комплексные, то последние входят сопряженными парами. Пусть a + ib и aib – простые корни характеристического уравнения. Корню a + ib соответствует решение

(4.8.52)

Эти решения линейно независимы в интервале (,+). Можно убедиться, что сопряженный корень aib не порождает новых вещественных линейно независимых решений.

Таким образом, если все характеристические числа – различные и вещественные, то мы получаем соответствующие им вещественные линейно независимые частные решения в виде (4.8.49). Если же все характеристические числа – различные, но среди них есть комплексные, то последние обязательно входят сопряженными парами и каждой паре таких характеристических чисел соответствуют два линейно независимых частных решения вида (4.8.52). Всего мы получим n вещественных частных решений. Все эти решения линейно независимы в интервале(,+).

Общее решение системы (4.8.43) в области (4.8.51) представляет собою линейные комбинации построенных n вещественных линейно независимых частных решений с произвольными постоянными коэффициентами.

Пример. Найти общее решение системы:

Решая характеристическое уравнение

или ²10+9=0,

находим: ₁=1, ₂=9, так что характеристические числа различные и вещественные.

Составляем систему для определения чисел ₁, ₂ соответствующих характеристическому числу ₁ = 1. Матрица коэффициентов этой системы получается из матрицы

заменой  на ₁ = l, так что искомая система будет иметь вид

Здесь, как и следовало ожидать, второе уравнение является следствием первого (оно даже совпадает с первым уравнением) и его можно было и не выписывать. Полагая ₁=1, находим ₂=1.

Таким образом, характеристическому числу ₁=l соответствует решение:

y₁=e^x, z₁=e^x.

Аналогично, решая систему, соответствующую характеристическому числу ₂=9:

находим: ₁=1, ₂=1, так что этому характеристическому числу соответствует решение:

y₂=e^9x, z₂=e^9x.

Мы получили фундаментальную систему решений:

Беря линейную комбинацию (по столбцам!), получаем общее решение:

Случай наличия кратных корней характеристического, уравнения. Прежде всего отметим, что если ₁ есть простое характеристическое число, то независимо от того, будут среди остальных характеристических чисел встречаться кратные или нет, ему всегда соответствует одно частное решение вида:

(4.8.53)

где ₁, ₂,…, _n – некоторые постоянные числа, определяемые с точностью до постоянного множителя.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти частные решения, соответствующие кратному корню.

При этом, так же как и для линейного однородного уравнения n-го порядка, оказывается, что одному характеристическому числу кратности k соответствует k линейно независимых частных решений.

Теорема. Если ₁ есть характеристическое число кратности k, то ему соответствует решение вида

(4.8.54)

где P₁(x), P₂(x),...,P_n(x) – полиномы от x степени не выше, чем k – 1, имеющие в совокупности k произвольных коэффициентов, так что среди всех коэффициентов всех этих полиномов k коэффициентов являются произвольными, а все остальные выражаются через них.

В частности, может случиться, что все эти полиномы вырождаются в постоянные числа. В таком случае k-кратному характеристическому числу ₁ будет соответствовать решение вида

(4.8.55)

Однако здесь k из коэффициентов ₁, ₂,…, _n являются произвольными, в то время как для простого характеристического числа произвольным является только один из них.

Практически при нахождении решения, соответствующего характеристическому числу ₁ нужно искать решение в виде (4.8.54), считая P₁(x), P₂(x),...,P_n(x) полиномы (k – 1)-й степени с неопределенными коэффициентами и, подставляя (4.8.55) в (4.8.43), выразить все коэффициенты через k из них, которые остаются произвольными.

Полагая поочередно один из этих произвольных коэффициентов равным единице, а остальные равными нулю, мы построим k линейно независимых решений, соответствующих характеристическому числу ₁. Все эти частные решения будут составлены из произведений показательной функции на полиномы от x, степени которых не превышают k – 1. Если же полиномы в формулах (4.8.54) вырождаются в постоянные числа, то мы получим k линейно независимых частных решений такого же вида, как и в случае простого корня характеристического уравнения.

Если ₁ – вещественное характеристическое число, то построенные выше k линейно независимых решений будут вещественными.

Если же система (4.8.43) имеет комплексное характеристическое число a + ib кратности k, то оно имеет сопряженное характеристическое число a – ib той же кратности. Построив k линейно независимых комплексных решений, соответствующих характеристическому числу a + ib, и отделив в них вещественные и мнимые части, мы получим 2k вещественных линейно независимых частных решений.

Всего получается n вещественных решений. Все эти решения линейно независимы в интервале (, +), так что они образуют фундаментальную систему решений. Взяв линейные комбинации решений этой фундаментальной системы по столбцам с одними и теми же произвольными постоянными C₁, C₂,..., C_n, мы получим общее решение системы (4.8.43) в области (4.8.51).