4.8.2.2. Неоднородные линейные системы

Рассмотрим теперь неоднородную систему

(k=1,2,…n), (4.8.25)

Предположим, что нам известно некоторое частное решение этой системы:

y₁= y₁⁽¹⁾, y₂= y₂⁽¹⁾,…, y_n= y_n⁽¹⁾ (4.8.26)

так что мы имеем тождества

(k=1,2,…n). (4.8.27)

Введем новые неизвестные функции z₁, z₂,...,z_n по формулам

(4.8.28)

Подставляя функции (4.8.28) в неоднородную систему (4.8.25), получим:

(k=1,2,…n), (4.8.29)

Отсюда, в силу тождеств (4.8.27), получаем для функций z₁, z₂,...,z_n следующую однородную систему, дифференциальных уравнений:

(k=1,2,…n), (4.8.30)

Эта система называется однородной системой, соответствующей неоднородной системе (4.8.25).

Общее решение однородной системы (4.8.30) дается формулой

(k=1,2,…n) (4.8.31)

где {z_ik} – некоторая фундаментальная система решений этой однородной системы.

Подставляя (4.8.31) в (4.8.28), получаем:

(4.8.32)

Можно показать, что все решения системы (4.8.25) содержатся в формуле (4.8.32). Эта формула представляет собою общее решение системы (4.8.25) во всей области задания системы (4.8.25).

Таким образом, для нахождения общего решения неоднородной системы (4.8.25) достаточно найти одно какое-либо частное решение этой системы и прибавить к нему общее решение соответствующей однородной системы (4.8.30).

4.8.2.3. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Общий прием нахождения частного решения, а вместе с тем и построения общего решения неоднородной системы, в случае, когда известна фундаментальная система решений соответствующей однородной системы, дается следующей теоремой.

Теорема. Если известна фундаментальная система решений однородной системы (4.8.30), то общее решение неоднородной системы (4.8.25) может быть найдено при помощи квадратур.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы применим метод вариации произвольных постоянных. Будем искать решение неоднородной системы (4.8.25) в виде

(4.8.33)

где {z_ik} – фундаментальная система решений однородной системы (4.8.25), а C_i(x) (i=l,2,...,n) – некоторые непрерывно дифференцируемые функции от x. Выберем эти функции так, чтобы формула (4.8.33) давала решение системы (4.8.25).

Подставляя (4.8.33) в (4.8.25), получаем:

(4.8.34)

или

(4.8.35)

Переписав эти равенства в виде

(4.8.36)

и приняв во внимание, что {z_ik} – фундаментальная система решений однородной системы (4.8.30), мы приходим к следующей системе n уравнений для определения C_i (i = 1, 2,...,n):

(4.8.37)

Так как определитель этой системы, будучи равным W(x), отличен от нуля во всем интервале (a, b), то разрешая ее относительно , находим:

(4.8.38)

где W_ki(x) есть алгебраическое дополнение элемента z_ki вронскиана W(x). Интегрируя (4.8.38), находим:

. (4.8.39)

Подставляя эти значения C_i(x) в формулу (4.8.33), получаем:

. (4.8.40)

Полагая здесь C₁ = C₂ =...= C_n = 0, получаем частное решение:

, (4.8.41)

так что (4.8.40) можно записать в виде (4.8.32) и, следовательно, решение, определяемое формулой (4.8.40), является общим решением неоднородной системы (4.8.25) в области (4.8.23). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что проблема интегрирования неоднородной линейной системы сводится к проблеме построения фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.