4.8.2. Линейные системы дифференциальных уравнений

4.8.2.1. Однородные линейные системы

Рассмотрим один специальный класс нормальных систем дифференциальных уравнений – линейные системы дифференциальных уравнений. Это системы вида:

(4.8.11)

Будем предполагать, что в системе (4.8.11) коэффициенты p_kj(x) (k=1,2,…n) и функции f_k(x) (k=1,2,…n) непрерывны в интервале (a, b). Тогда, согласно теореме Пикара система (4.8.11) имеет единственное решение задачи Коши для этой системы, и это решение будет определено во всем интервале непрерывности функций p_kj(x) и f_k(x).

Особых решений линейная система (4.8.11) не имеет. Всякое решение этой системы является частным решением.

Если все функции f_k(x)0 в (a, b), то система (4.8.11) называется однородной. В этом случае система принимает вид:

, (k=1,2,…n). (4.8.12)

Если же в системе (4.8.11) не все функции f_k(x)0 в (a, b), то такая система называется неоднородной.

Общая теория линейных систем во многом аналогична общей теории линейного уравнения n-го порядка. Наша окончательная задача состоит в нахождении всех вещественных решений системы (4.8.12). Однако для решения этой задачи так же, как и в случае однородного линейного уравнения n-го порядка введем некоторые понятие.

Решения однородной системы (4.8.12) обладают следующими характерными свойствами, аналогичными свойствам решений однородного линейного уравнения n-гo порядка.

1. Если

y₁=₁(x), y₂=₂(x),…, y_n=_n(x) (4.8.13)

есть решение однородной системы (4.8.11), то

y₁=C₁(x), y₂=C₂(x),…, y_n=C_n(x) (4.8.14)

где C – произвольная постоянная, тоже будет решением этой системы, т. е. умножая все функции, составляющие решение однородной системы, на одну и туже постоянную мы снова получаем решение.

2. Пусть дано m решений системы (4.8.12), записанных в виде таблицы:

(4.8.15)

Здесь первый индекс обозначает номер решения, а второй – номер функции. Например, y₁₂ – вторая функция первого решения.

Из линейности системы (4.8.12) следует, что линейная комбинация решений (4.8.15) c любыми постоянными коэффициентами C₁, C₂,…,C_m, т. е. совокупность функций

, (4.8.16)

тоже будет решением системы (4.8.12).

Предположим теперь, что нам известно n частных решений однородной системы (4.8.12). Поставим основной вопрос: при каком условии линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами C₁,C₂,...,C_n даст общее решение однородной системы. Чтобы ответить на поставленный вопрос, введем понятие о линейной независимости систем функций.

Определение 10. Рассмотрим m систем функций:

(4.8.17)

Эти системы называются линейно независимыми в интервале, (a, b), если не существует чисел ₁, ₂,…, _m, не равных одновременно нулю, при которых для всего интервала (a, b) выполнялись бы соотношения:

(k=1,2,…n), (4.8.18)

в противном случае системы (4.8.17) называются линейно зависимыми в (a, b).

Пусть мы имеем n систем функций:

(4.8.19)

Введем в рассмотрение определитель

(4.8.20)

Этот определитель называется определителем Вронского для систем функций (4.8.19) или вронскианом этих систем функций.

Теорема. Если n систем функций (4.8.19) линейно зависимы в интервале (a, b), то W(x) = 0 в (a, b).

Пусть теперь каждая из систем функций (4.8.19) является решением системы (4.8.12).

Теорема. Если n решений (4.8.19) линейно независимы в интервале (a, b), в котором определены и непрерывны P_kj(x) (k=1,2,…n) то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала.

Из этой теоремы следует, что для того, чтобы n решений системы (4.8.12) были линейно независимы в интервале (a, b), необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался и нуль ни в одной точке этого интервала.

Однако для установления линейной независимости n решений системы (4.8.12) достаточно убедиться, что W(x) отличен от нуля хоть в одной точке интервала (a, b). Это вытекает из следующих двух замечательных свойств вронскиана n решений системы (4.8.12).

1. Если W(x) обращается в нуль хоть в одной точке интервала (a, b), т. е. интервала непрерывности коэффициентов системы (4.8.12), то W(x) равен нулю во всех точках этого интервала.

2. Если W(x) не равен нулю хоть в одной точке интервала, (a, b); то он не обращается в нуль ни в одной точке интервала (a, b).

Таким образом, для линейной независимости n решений системы (4.8.12) в интервале (a, b) необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан был отличен от нуля хоть в одной точке этого интервала.

Определение 11. Совокупность n решений однородной системы (4.8.12), определенных и линейно независимых в интервале (a, b), называется фундаментальной системой решений в этом интервале.

Так же, как и в случае однородного линейного уравнения n-го порядка, знание фундаментальной системы решений дает возможность построить общее решение системы (4.8.12).

Основная теорема. Если

(4.8.21)

есть фундаментальная система решений однородной линейной системы (4.8.12) в интервале (a, b), то формулы

, (4.8.22)

где C₁, C₂,...,C_n – произвольные постоянные, дают общее решение системы (4.8.12) в области

a<x<b, |y_k|<  (k=1, 2,…,n), (4.8.23)

т. е. во всей области задания системы (4.8.11).