3) Общее решение дифференциального уравнения получим складывая и

.

Лекция 4.8. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

4.8.1. Основные понятия и определения

Определение 1. Совокупность соотношений вида

, (4.8.1)

где y₁, y₂,…, y_n искомые функции от независимой переменной x, называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Будем предполагать функции F₁, F₂, ..., F_n такими, что система (4.8.1) разрешима относительно производных от искомых функций:

(4.8.2)

Определение 2. Системы вида (4.8.2) называются нормальными системами дифференциальных уравнений.

Определение 3. Число уравнений, входящих в систему, называется порядком этой системы. Согласно этому определению, система (4.8.2) есть система n-го порядка.

Определение 4. Если правые части системы (4.8.2) зависят линейно от искомых функций y₁, y₂,…, y_n т. е. если система (4.8.2) имеет вид

(4.8.3)

где p_kl(x) (k,l = 1, 2,..., n) и f_k(x) (k = 1, 2,...,n) заданные функции от x, то она называется линейной системой дифференциальных уравнений или, короче, линейной системой.

Определение 5. Если правые части системы (4.8.2) не зависят (явно) от независимой переменной x, т. е. если система (4.8.2) имеет вид

(4.8.2)

то она называется автономной или стационарной системой.

Определение 6. Всякая совокупность n функций

y₁=y₁(x), y₂=y₂(x),…, y_n=y_n(x), (4.8.4)

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a, b), называется решением системы (4.8.2) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (4.8.2) в тождества:

справедливые при всех значениях x из интервала (a, b).

Для системы (4.8.2) задача Коши ставится следующим образом: среди всех решений системы (4.8.2) найти такое решение

y₁=y₁(x), y₂=y₂(x),…, y_n=y_n(x), (4.8.5)

в котором функции y₁(x), y₂(x),…, y_n(x) принимают заданные числовые значения y₁⁽⁰⁾, y₂⁽⁰⁾,..., y_n⁽⁰⁾ при заданном числовом значении x₀ независимой переменной x:

y₁(x₀)= y₁⁽⁰⁾, y₂(x₀)= y₂⁽⁰⁾,…, y_n(x₀)= y_n⁽⁰⁾, (4.8.6)

так что решение (4.8.5) удовлетворяет условиям:

y₁= y₁⁽⁰⁾, y₂= y₂⁽⁰⁾,…, y_n= y_n⁽⁰⁾ при x=x₀. (4.8.7)

Здесь числа y₁⁽⁰⁾, y₂⁽⁰⁾,..., y_n⁽⁰⁾ называются начальными значениями искомой функции или начальными значениями решения (4.8.5), число x₀ – начальным значением независимой переменной x, числа x₀, y₁⁽⁰⁾, y₂⁽⁰⁾,..., y_n⁽⁰⁾ вместе взятые называются начальными данными решения (4.8.5), а условие (4.8.7) начальными условиями этого решения.

Сейчас мы приведем без доказательства основную теорему существования и единственности (теорему Пикара) для системы (4.8.2).

Теорема. Пусть дана нормальная система (4.8.2)

и поставлены начальные условия (4.8.7),

y₁= y₁⁽⁰⁾, y₂= y₂⁽⁰⁾,…, y_n= y_n⁽⁰⁾ при x=x₀.

Предположим, что функции, стоящие в правых частях системы (4.8.2), определены в некоторой замкнутой ограниченной области R:

, , (k=1,2,…,n)

с точкой (x₀, y₁⁽⁰⁾, y₂⁽⁰⁾,..., y_n⁽⁰⁾) внутри (a и b – заданные положительные числа) и удовлетворяют в этой области следующим двум условиям:

1. Функции f_k(x, y₁, y₂,…,y_n) (k=1,2,…,n) непрерывны по всем своим аргументам и, следовательно, ограничены, т. е.:

(k=1,2,…,n) (4.8.8)

где M – постоянное положительное число, а (x, y₁, y₂,…,y_n) – любая точка, области R.

2. Функции f_k(x, y₁, y₂,…,y_n) имеют ограниченные частные производные по аргументам y₁, y₂,…,y_n, т.е.

, (k,j = 1,2,…,n), (4.8.9)

где К – постоянное положительное число, а (x, y₁, y₂,…,y_n) – любая точка области R.

При этих предположениях система (4.8.2) имеет единственное решение (4.8.5).

y₁=y₁(x), y₂=y₂(x),…, y_n=y_n(x),

удовлетворяющее начальным условиям (4.8.7). Это решение заведомо определено и непрерывно дифференцируемо в интервале

где

.

Определение 7. Совокупность n функций

(4.8.10)

определенных в некоторой области изменения переменных x, C₁, C₂,...,C_n имеющих непрерывные частные производные по x, будем называть общим решением системы (4.8.2) в области D, если система (4.8.10) разрешима относительно произвольных постоянных C₁, C₂,...,C_n в области D, так что при любых значениях x, y₁, y₂,..., y_n, принадлежащих области D, системой (4.8.10) определяются значения C₁, C₂,...,C_n, и если совокупность n функций (4.8.10) является решением системы (4.8.2) при всех значениях произвольных постоянных C₁, C₂,...,C_n, когда точка (x, y₁, y₂,..., y_n) пробегает область D.

Определение 8. Если решение системы (4.8.2) состоит только из точек единственности решения задачи Коши для этой системы, то такое решение называется частным решением.

Решение, получающееся из формулы общего решения при частных числовых значениях произвольных постоянных C₁, C₂,...,C_n, будет, очевидно, частным решением.

Определение 9. Решение системы (4.8.2), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши для этой системы, называется особым решением.