4.7.2. Неоднородное уравнение

Рассмотрим теперь неоднородное линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами:

L(y)y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n1)+ a₂y^(n2)+…+ a_n1y+ a_ny=f(x) (4.7.22)

где, как и в случае однородного уравнения, будем предполагать, что коэффициенты a₁, a₂, …, a_n есть постоянные вещественные числа. Относительно функции f (x), стоящей в правой части уравнения (4.7.22), будем предполагать, что она непрерывна в некотором интервале (a, b).

Для однородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами мы научились строить фундаментальную систему решений, тогда общее решение уравнения (4.7.22) находится (методом Лагранжа) в квадратурах.

Для некоторых частных видов функции f(x) удается найти частное решение уравнения (4.7.22) без квадратур. В таких случаях, складывая это частное решение с общим решением соответствующего однородного уравнения, мы получаем без квадратур и общее решение уравнения (4.7.22).

4.7.2.1. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов

1. Предположим, что в уравнении (4.7.22) правая часть f(x) представляет собою произведение полинома на показательную функцию, т. е. мы имеем:

L(y)y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n1)+ a₂y^(n2)+…+ a_n1y+ a_ny=P_m(x)e^x (4.7.23)

где

P_m(x)=p₀x^m + p₁x^m1+...+p_m1x+p_m (m0) (4.7.24)

есть полином с вещественными или комплексными коэффициентами (он может быть и постоянным числом); а   постоянное число вещественное или комплексное (в том числе и равное нулю). При построении частного решения уравнения (4.7.23) различают два случая.

Случай 1.  не является корнем характеристического уравнения, т. е. P()  0. В этом случае частное решение y₁ уравнения (4.7.23) следует искать в виде

y₁=Q_m(x)e^x (4.7.25)

где

Q_m(x) = q₀x^m + q₁x^m1 + ... + q_m1x + q_m (4.7.26)

есть полином m-й степени с неопределенными коэффициентами, так что частное решение (4.7.25) имеет ту же аналитическую структуру, что и правая часть самого уравнения (4.7.23).

Коэффициенты полинома Q_m(x) определяются подстановкой (4.7.25) в (4.7.23) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного равенства.

Случай 2.  является k-кратным корнем (k1) характеристического уравнения, т.е.

P()=P()=…=P^(k–1)()=0, но P^(k)()0. (4.7.27)

В этом случае частное решение y₁ в виде (4.7.25) не построить, ибо P() = 0. Его следует искать по формуле

y₁=x^k Q_m(x)e^x (4.7.28)

где Q_m (x) имеет вид (4.7.26).

Коэффициенты полинома Q_m (x) определяются так же, как и в первом случае.

2. Предположим, что правая часть уравнения (4.7.22) имеет вид

, (4.7.29)

где и – заданные полиномы от x степени, равной или меньшей m, причем хоть один из них имеет степень m. Они могут быть и постоянными числами. Один из них может быть и тождественно равен нулю.

Заменяя cos bx и sin bx по формулам Эйлера:

, , (4.7.30)

мы можем переписать равенство (4.7.29) так:

(4.7.31)

где и – полиномы степени m, т. е. f(x) представляет собою сумму двух слагаемых. При этом также имеют место два случая.

Случай 1. Если a + ib не является корнем характеристического уравнения, то частное решение найдется в виде:

(4.7.32)

где и – полиномы m-й степени с неопределенными коэффициентами.

Случай 2. Если a+ib является k-кратным корнем (k1) характеристического уравнения, то частное решение найдется в виде:

(4.7.33)

где и – полиномы m-й степени с неопределенными коэффициентами.

В обоих случаях коэффициенты полиномов и определяются непосредственной подстановкой y₁ в уравнение (4.7.22).

Обращаем особое внимание на то, что частное решение следует искать в виде (4.7.32) или (4.7.33), также и в том случае, когда или .

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

1) Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение . Найдем корни характеристического уравнения _1,2=3. Имеем случай кратных корней. Следовательно, решение имеет вид .

2) Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравне­ния. Правая часть этого уравнения в общем виде представля­ется как . Здесь =0; m=2. Сравнивая значение  и корни характеристического уравнения, заключаем, что  не является корнем характеристического уравнения поэтому частное решение нужно искать в виде , где A,B,C – коэффициенты подлежащие опре­делению. Для нахождения A,B,C подставим в дифференциальное уравнение предварительно найдя , .

Получим

, .

или

Последнее выражение представляет собой равенство двух многочленов, стоящих в правой и левой частях. Многочлены равны между собой, если равны между собой их коэффициенты при одинаковых степенях x. Прирав­нивая эти коэффициентами, имеем

Получили систему уравнений для определения неизвестных A, B, C. Решая ее, получаем

.

Таким образом, подставив найденные значения коэффициентов A, B, C в , имеем частное решение

.